Actualités mathématiques

Deux géants technologiques chinois, Huawei et Xiaohongshu, ont rendu publics des résultats spectaculaires : leurs modèles d'intelligence artificielle ont tous deux obtenu la note maximale aux épreuves de l'Olympiade internationale de mathématiques (IMO) qui s'est déroulée en juillet 2026 à Shanghai. C'est la première fois qu'un modèle de langage atteint un score parfait dans le cadre officiel d'évaluation de cette compétition prestigieuse.

Ces performances marquent une accélération remarquable : en 2024, Google n'avait réussi que le niveau médaille d'argent en résolvant quatre des six problèmes en deux ou trois jours. L'année suivante, Google et OpenAI avaient atteint le niveau médaille d'or sans obtenir la perfection. Cette année, 666 concurrents humains ont participé aux épreuves, parmi lesquels sept seulement ont atteint le score de 100%.

Les tests ont respecté des protocoles stricts : les entreprises n'ont reçu les énoncés qu'après le passage des candidats humains, toute intervention humaine était interdite pendant les résolutions, et les solutions ont été soumises dans un délai imparti avant correction officielle par les organisateurs.

La conjecture jacobienne, formulée en 1939 par le mathématicien Ott-Heinrich Keller, pose une question fondamentale : une transformation polynomiale utilisant uniquement additions et multiplications permet-elle toujours de retrouver les données initiales ? Pendant 87 ans, cette question est restée sans réponse, figurant même sur la liste des défis mathématiques du siècle établie en 1998.

Le modèle Claude Fable 5 d'Anthropic vient de produire un contre-exemple : une application polynomiale dans l'espace complexe à trois dimensions qui invalide cette conjecture. L'annonce, relayée par le chercheur Levent Alpöge de Harvard, a rapidement suscité l'enthousiasme de la communauté scientifique, notamment du mathématicien Jared Duker Lichtman de Stanford qui a décortiqué le résultat.

Cette avancée s'inscrit dans une série de résolutions spectaculaires : quelques jours auparavant, OpenAI revendiquait la résolution d'une conjecture d'Erdos datant de 1946. Ces succès alimentent le débat sur la rapidité avec laquelle les modèles d'IA progressent sur des tâches de raisonnement abstrait.

En octobre 1793, la République française tenta une expérience audacieuse : remplacer le système horaire traditionnel par un système décimal. La journée devait être divisée en 10 heures de 100 minutes décimales chacune, chaque minute contenant 100 secondes. Des horloges furent installées dans les mairies et les activités officielles enregistrées selon ce nouveau calendrier. Cependant, cette réforme s'avéra rapidement impraticable : elle isolait la France de ses voisins, la population rurale rechignait au repos tous les dix jours au lieu de sept, et les conversions d'horloges posèrent des défis techniques. Le système ne dura guère plus d'un an.

La raison pour laquelle nous conservons le système 24/60/60 remonte aux Sumériens de Mésopotamie (5300-1940 av. J.-C.). Ce peuple ancien, créateur de la première écriture connue, inventa un système de numération en base 60, le système sexagésimal. Plusieurs théories tentent d'expliquer cette spécificité : une hypothèse évoque le comptage sur les articulations des doigts (12 par main, multipliées par 5). Le véritable avantage du 60 réside dans sa divisibilité exceptionnelle : il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 sans fractions décimales, tandis que 10 ne l'est que par 1, 2, 5 et 10.

Ce système, d'abord employé par les Sumériens pour la comptabilité, les impôts et le partage des terres, fut repris par les Babyloniens. Bien qu'aucune preuve formelle n'atteste que les Sumériens mesurant le temps, les Babyloniens utilisaient des cadrans solaires et des horloges à eau vers 1000 av. J.-C. L'héritage de cette civilisation ancienne perdure ainsi jusqu'à nos montres actuelles, tant de siècles après la disparition de ceux qui l'inventèrent.

Levent Alpöge, théoricien des nombres chez Anthropic, a annoncé dimanche que Claude Fable 5 a résolu la conjecture jacobienne, un problème figurant sur la liste des problèmes non résolus du siècle établie par le mathématicien Stephen Smale. Restée ouverte depuis 1939, cette conjecture affirmait que si une machine mathématique (prenant deux nombres et en restituant deux nouveaux via addition et multiplication) passait un test de réversibilité rapide, elle devrait toujours être réversible.

L'IA a construit un contre-exemple : une machine qui réussit le test mais n'est pas inversible car trois entrées différentes produisent la même sortie. Un seul contre-exemple a suffi à réfuter la conjecture. La démonstration a pu être vérifiée manuellement en moins d'une journée, confirmant une capacité remarquable des systèmes d'IA à générer des mathématiques originales et complexes.

Le mathématicien Doron Zeilberger de l'université Rutgers soutient que l'infini n'existe pas vraiment en mathématiques. Selon lui, bien que l'infini soit une notion intuitive séduisante, on ne peut pas l'observer concrètement. Il argue que les démonstrations mathématiques truffées de points de suspension sont « très laides » et absurdes, et que les mathématiciens peuvent construire une analyse complète sans y recourir — les ordinateurs le font déjà avec des nombres finis. Cette position, appelée ultrafinitisme, remet également en cause les nombres extrêmement grands comme celui de Skewes (e^e^e^79), jugés trop abstraits pour être vraiment considérés comme des nombres.

Bien que la majorité des mathématiciens rejettent cette approche, l'ultrafinitisme soulève des questions philosophiques légitimes. Justin Clarke-Doane, philosophe à Columbia, y voit une version plus réaliste des mathématiques, mieux alignée sur les limites physiques observables de l'univers. Cependant, les ultrafinitistes font face à un défi majeur : ils doivent d'abord s'accorder sur une définition précise et développer un cadre formel cohérent, là où les mathématiques classiques reposent sur des systèmes rigoureusement établis. Doron Zeilberger, lui, accepterait des mathématiques intrinsèquement désordonnées si cela reflétait mieux le monde réel.

Depuis deux siècles, historiens et chercheurs s'affrontent sur l'origine de l'épidémie de variole qui, en 1789, a ravagé les populations aborigènes australiennes peu après l'arrivée de la First Fleet britannique. Deux hypothèses dominaient : soit le virus provenait des colons britanniques eux-mêmes, soit des pêcheurs indonésiens qui entretenaient des contacts réguliers avec les côtes australiennes. Le principal argument contre la première théorie reposait sur l'impossibilité supposée que le virus ne survive les huit mois de voyage entre Portsmouth et la Botany Bay.

Face à cette impasse documentaire, des chercheurs ont eu recours à la modélisation mathématique pour simuler la propagation de la maladie et comparer les deux scénarios. Le verdict penche nettement vers l'introduction par la First Fleet en 1788. La résolution de l'énigme du voyage réside dans un détail : les médecins britanniques transportaient des fioles de croûtes de variole séchées pour l'inoculation, réapprovisionnées lors des escales au Cap (Afrique du Sud) ou à Rio de Janeiro, quelques mois avant l'arrivée en Australie, assurant la viabilité du virus.

Cette épidémie aurait causé environ 220 000 morts et contribué au déclin rapide de la culture aborigène. L'étude illustre comment les outils mathématiques modernes peuvent résoudre des énigmes historiques jugées insolubles par les seules archives, tout en rendant justice à une mémoire longtemps minimisée.

Sur le site archéologique de Xultun au Guatemala, des fouilles menées depuis 2008 ont révélé une petite pièce contenant plus de 50 microtextes mathématiques peints et gravés. En analysant attentivement ces inscriptions à l'aide de logiciels de traitement d'image, les chercheurs, dont Franco Rossi du MIT et David Stuart de l'Université du Texas, ont déchiffré un ensemble de 11 hiéroglyphes formant le nom « Sak Tahn Waax » (« Renard à la poitrine blanche »).

Cette découverte est historique : pour la première fois, un astronome-mathématicien maya est formellement identifié et associé à des travaux scientifiques précis. Parmi les équations présentes dans la pièce figurent notamment des calculs relatifs aux mouvements planétaires de Vénus et de Mars. Bien qu'il demeure impossible de confirmer si Sak Tahn Waax en est l'auteur ou si les équations lui ont été attribuées, son nom témoigne de l'existence d'une tradition sophistiquée d'astronomes mayas spécialisés dans l'étude des astres, longtemps restée anonyme.

Une équipe d'archéologues a décrypté un ensemble de démonstrations mathématiques inscrites sur les murs du temple de Tikal au Guatemala (site de Xultun). Pour la première fois, ils ont pu identifier nommément l'auteur de ces calculs : Sak Tahn Waax (« Renard à la poitrine blanche »), un maître astronome-mathématicien maya du VIIIe siècle.

Ces formules, désignées « texte 19 » par les chercheurs, constituent une démonstration virtuose reliant les cycles astronomiques aux calendriers mayas. Elles mettent en correspondance le cycle clé de 2 920 jours du calendrier maya avec les cycles de Vénus et les années solaires et martiennes. La complexité réside dans l'utilisation d'une notation abrégée où les hiéroglyphes ne révèlent que partiellement la formule, le reste étant implicite.

Cette découverte confirme que les Mayas maîtrisaient l'algèbre, l'arithmétique, les nombres négatifs et les facteurs multiplicatifs. Elle témoigne d'une civilisation intellectuellement sophistiquée, dont les savants enseignaient, apprenaient et pratiquaient les mathématiques par curiosité intellectuelle il y a plus de 1 200 ans, à l'égal des grands astronomes-mathématiciens de l'Antiquité comme Archimède ou Ptolémée.