Actualités mathématiques

Depuis l'Antiquité, les nombres premiers fascinent et intriguent les mathématiciens. Malgré des millénaires d'études, leur distribution le long de la droite numérique semblait aléatoire et imprévisible. Même le tamis d'Ératosthène, inventé au IIIe siècle avant J.-C., reste l'une des meilleures méthodes pour les détecter, illustrant la profondeur du défi.

Une équipe de chercheurs dirigée par Ken Ono vient de révéler un lien remarquable : les nombres premiers sont en réalité détectables via une infinité de fonctions issues des partitions entières (les manières de décomposer un nombre en somme d'autres entiers). Plus précisément, ces nombres sont solutions d'équations diophantiennes spécialement construites à partir de ces fonctions de partition. Cette connexion inattendue relie deux domaines mathématiques apparemment distincts : la théorie des nombres premiers et la combinatoire.

Cette découverte est purement théorique et ne menace pas la sécurité des systèmes cryptographiques modernes, qui s'appuient sur la difficulté à factoriser les grands nombres premiers. Néanmoins, elle marque une étape majeure dans la compréhension des fondations des mathématiques et pourrait s'avérer cruciale à l'ère de l'informatique quantique.

Selon les évaluations internationales TIMSS, les élèves français de CM1 occupent la dernière place en Union européenne en mathématiques, se classant même après l'Albanie et l'Azerbaïdjan au niveau mondial. Anne Rosencher analyse les causes et conséquences de cet « effondrement du niveau », au-delà de ses seuls impacts sur la formation d'ingénieurs et la souveraineté technologique.

Elle souligne que les mathématiques constituent une culture fondamentale : elles permettent aux citoyens de comprendre les statistiques, probabilités et proportions qui structurent nos sociétés ; elles enseignent le raisonnement logique et l'émancipation face aux opinions et aux affects ; elles étaient historiquement la discipline la moins inégalitaire. Or cette baisse de niveau a inversé la tendance : les savoirs non acquis en classe s'apprennent désormais à la maison, creusant les inégalités sociales.

L'enjeu dépasse donc la seule réforme pédagogique (formation des enseignants, programmes) : il requiert une reconsidération collective de la place des mathématiques, non comme élitisme ou nostalgie, mais comme bien commun et « exosquelette nécessaire au fonctionnement des sociétés ».

La Flandre a introduit en 2024 les « Vlaamse toetsen », des tests standardisés communs à tous les établissements d'enseignement primaire et secondaire pour évaluer le niveau des élèves en néerlandais et mathématiques. Au printemps 2025, cette première session de grande envergure a mobilisé 208 716 élèves issus de 3 478 écoles, avec un taux de participation exceptionnellement élevé de 96,47 %.

Les résultats mettent en lumière des écarts significatifs selon les domaines. En compréhension à la lecture, 69 % des élèves de 6e primaire remplissent les objectifs finaux. En mathématiques, les performances varient fortement : la géométrie atteint 68 % de réussite, tandis que la résolution de problèmes plafonne à 29 %. La ministre Zuhal Demir souligne que ces chiffres reflètent une situation stable, « sans creux dramatique mais sans avancée » notable, confirmant l'utilité des tests pour identifier les domaines à améliorer.

Depuis sa formulation en 1925, l'équation de Schrödinger reste incontournable en mécanique quantique, mais elle est quasi impossible à résoudre exactement pour la plupart des systèmes physiques. Au-delà du cas simple de l'atome d'hydrogène, les physiciens doivent recourir à des approximations. La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT), fondée dans les années 1960 par Hohenberg et Kohn, a constitué une avancée majeure en réduisant le problème à la densité des particules plutôt qu'à leur fonction d'onde complète.

Une équipe française vient de proposer une approche novatrice : remplacer le vrai système à étudier par un système équivalent sans réalité physique mais mathématiquement plus traitable. Les premiers résultats suggèrent que cette stratégie radicale pourrait permettre de modéliser des systèmes quantiques complexes restés hors de portée jusqu'à présent. Cette nouvelle approche s'inscrit dans la quête centenaire d'approximations toujours plus efficaces pour contourner les obstacles de calcul.

Polytechnique a annoncé la création d'un Institut de mathématiques et des sciences fondamentales, financé par un don de 50 millions d'euros de Bernard Arnault, ancien élève de l'école et patron de LVMH. Le futur bâtiment, qui sera baptisé « Institut mathématiques et des sciences fondamentales Bernard Arnault », sera construit d'ici 2030 et accueillera des chercheurs internationaux de haut niveau ainsi qu'un programme de résidence mathématique dès la rentrée.

La directrice générale de Polytechnique, Laura Chaubard, a qualifié ce don de « historique » pour l'école et la recherche fondamentale française, soulignant qu'il reflète la volonté de l'institution de maintenir des liens forts avec les acteurs économiques. Cependant, ce partenariat a suscité des critiques : lors de la cérémonie de remise de diplômes en juin, des étudiants ont protesté contre les partenariats privés, dénonçant une « instrumentalisation de la science » au service des intérêts d'un milliardaire.

Une équipe de l'Université Polytechnique Hauts-de-France a mis au point une méthode mathématique non invasive capable de distinguer les tableaux authentiques de Van Gogh des contrefaçons. La technique, publiée dans la revue Surface Topography: Metrology and Properties, convertit des images haute résolution en cartes topographiques et mesure la rugosité de la surface peinte via des dimensions fractales. Ces mesures capturent les motifs subtils créés par le coup de pinceau, constituant une signature morphologique propre à chaque artiste.

Pour valider leur outil, les chercheurs l'ont confronté à plusieurs cas d'école : le faux documenté « Les Laboureurs » a été immédiatement rejeté, tandis que « Coucher de soleil à Montmajour », longtemps contesté et authentifié en 2013, s'est avéré conforme à la signature fractale de Van Gogh. L'équipe a également confirmé que la méthode distingue sans ambiguïté les styles de Van Gogh et du peintre suédois David Klöcker Ehrenstrahl.

Les chercheurs soulignent que cette approche ne remplace pas l'expertise traditionnelle, mais la renforce en fournissant des données quantifiables et objectives. Face à la sophistication croissante des techniques de falsification, la géométrie fractale offre un moyen d'identifier l'inimitable : le geste du peintre dans toutes ses dimensions imperceptibles à l'oeil nu.

Le Congrès international des mathématiciens (ICM), qui se tiendra du 23 au 30 juillet 2026 à Philadelphie, est la plus prestigieuse conférence mondiale en mathématiques. C'est lors de cette édition que seront décernées les médailles Fields, parmi les plus hautes distinctions du domaine. La communauté mathématique française entend marquer sa présence à travers une initiative commune « Math In France ».

Cette participation fédère le CNRS, l'IHES, l'Institut Henri Poincaré, le CIRM, le CIMPA, MathDoc ainsi que France Universités. Un stand dédié accueillera les participants du congrès, promouvant les valeurs de la communauté française : excellence scientifique, science ouverte, liberté académique, parité, diversité et coopération internationale. En parallèle, une exposition intitulée « Wild Dynamics » présentera les systèmes dynamiques contemporains via simulations interactives, films et sculptures.

Une soirée festive organisée le 27 juillet au Musée Rodin de Philadelphie réunira chercheurs et représentants des institutions, placée sous le parrainage de l'Ambassadeur de France aux États-Unis. Au programme : discours, présentations de chercheurs de renom et table ronde sur les enjeux actuels des mathématiques.