Actualités mathématiques

Le mathématicien chinois Yu Deng vient de recevoir la médaille Fields pour ses travaux à l'interface des équations aux dérivées partielles, des probabilités et de la physique mathématique. Avec ses collaborateurs Zaher Hani et Xiao Ma, il a démontré comment le comportement collectif d'un gaz (décrit par les équations de Navier-Stokes) émerge rigoureusement des collisions entre des milliards de particules assimilées à des sphères dures. Cette question résistait depuis les années 1970, quand Oscar Lanford avait seulement réussi à établir le résultat sur des temps très courts.

La démonstration, longue de plusieurs centaines de pages, franchit l'obstacle des recollisions multiples entre particules en déployant une sophistication technique rare. Les chercheurs reconstituent et contrôlent des arbres de collisions d'une complexité combinatoire vertigineuse. Cependant, comme l'explique Isabelle Gallagher, mathématicienne qui a vérifiée la preuve, ce résultat constitue un exploit technique sans apporter de compréhension nouvelle des mécanismes physiques — il s'agit principalement de combinatoire sur arbres plutôt que de physique conceptuelle.

Cet achèvement paradoxal ouvre désormais une nouvelle période de recherche : les générations suivantes pourront chercher des preuves plus élégantes et plus proches de l'intuition physique. Le travail de Deng constitue ainsi une étape majeure du sixième problème de Hilbert sur les fondements mathématiques de la physique.

La question des capacités réelles des grands modèles de langage (LLM) en mathématiques fait l'objet d'un débat animé dans la communauté scientifique, alimenté par plusieurs travaux et prises de position récentes. D'un côté, une étude présentée à la conférence ICML 2026 par Tom Zahavy, chercheur chez Google DeepMind, intitulée « LLMs can't jump », propose un cadre analytique pour caractériser les limites de ces systèmes. L'auteur y distingue trois formes de raisonnement — l'induction, la déduction et l'abduction — pour mieux cerner ce que les LLM font ou ne font pas lorsqu'ils sont confrontés à des problèmes nouveaux.

De leur côté, deux mathématiciens de premier plan, Timothy Gowers, médaillé Fields, et Peter Sarnak, portent un jugement nuancé sur ces outils. Ils reconnaissent que les LLM sont performants pour assembler et combiner des techniques mathématiques déjà connues, mais ils estiment que ces systèmes sont dépourvus de l'intuition nécessaire à la production d'idées véritablement originales. Cette distinction entre capacité computationnelle et créativité constitue le coeur de leur analyse.

Pourtant, les mêmes sources soulignent des avancées concrètes qui compliquent ce tableau. Un modèle d'OpenAI aurait ainsi résolu une conjecture de Paul Erdos portant sur la géométrie à distance unitaire, restée ouverte depuis 1946, en mobilisant des outils issus de la théorie des nombres algébriques — une approche jugée inédite par les experts. Ce résultat, validé par neuf mathématiciens et supervisé par trois chercheurs d'OpenAI, a conduit Gowers lui-même à qualifier cette avancée de jalon important pour l'IA en mathématiques, tout en notant qu'il devient de plus en plus difficile pour les humains de rivaliser sur certains terrains.

Par ailleurs, les progrès des LLM semblent plus marqués dans les domaines où les résultats sont vérifiables, comme la programmation ou les preuves formelles, notamment grâce aux techniques d'apprentissage par renforcement. En revanche, des travaux récents montrent que les hallucinations de ces modèles — leurs réponses fausses mais assurées — ne résultent pas d'un simple manque de données, mais sont ancrées dans leur architecture même : les trajectoires internes des modèles peuvent diverger et s'éloigner activement des bonnes réponses.

Ce tableau d'ensemble dessine une réalité contrastée : des LLM capables de performances surprenantes sur des problèmes précis et vérifiables, mais dont la créativité mathématique au sens fort — celle qui consiste à forger des concepts radicalement nouveaux — reste, pour l'heure, une limite reconnue par les spécialistes eux-mêmes.

En septembre 2021, Jonathan Pila (Oxford), Ananth Shankar (Northwestern) et Jacob Tsimerman (Toronto) ont publié une démonstration complète de la conjecture d'André-Oort, un problème formulé en 1989-1995 par Yves André et Frans Oort. Contrairement à une démonstration antérieure de 2014, leur résultat ne repose pas sur l'hypothèse de Riemann (encore ouverte). Cette conjecture s'interroge sur la répartition des « points spéciaux » au sein des variétés de Shimura : si une courbe croise constamment ces points, elle doit elle-même être une variété de Shimura.

La démonstration s'appuie sur une méthode ingénieuse introduite par Jonathan Pila : associer à chaque point spécial une « hauteur » mesurant sa complexité arithmétique. En montrant que ces hauteurs restent bornées, les auteurs prouvent qu'il n'existe qu'un nombre fini de points spéciaux, confirmant la conjecture. Cette avancée éclaire la structure profonde des variétés de Shimura, qui sous-tendent une grande partie des mathématiques modernes et prolongent la quête séculaire de compréhension des solutions des équations polynomiales.

Depuis l'automne 2025, l'intelligence artificielle multiplie les avancées spectaculaires dans le domaine des mathématiques, au point de résoudre des problèmes restés ouverts depuis des décennies, voire près d'un siècle.

L'une des percées les plus remarquables concerne la conjecture dite des « distances unitaires », formulée en 1946 par le mathématicien hongrois Paul Erdos (1913-1996). Ce problème, classé parmi les dix plus difficiles de la liste des 1 217 énigmes laissées par Erdos, posait la question du nombre de paires de points séparés par une distance exactement égale à 1 parmi un ensemble de n points dans le plan. La conjecture était généralement tenue pour vraie par la communauté mathématique, qui cherchait à la démontrer. Le 20 mai 2026, OpenAI a annoncé qu'elle avait été réfutée par ChatGPT dans sa version 5.2, sortie en décembre 2025. Fait notable : la solution n'a pas été produite par des chercheurs ou des ingénieurs d'OpenAI, mais par de simples amateurs utilisant leur abonnement personnel. La démonstration, publiée formellement, a été validée par des mathématiciens de renom. Ce qui déconcerte les spécialistes tient moins au résultat qu'à la méthode : l'IA a mobilisé des champs mathématiques que personne n'avait envisagé d'appliquer à ce problème. Le mathématicien Arul Shankar la qualifie de preuve « très humaine, quoique d'une ingéniosité extrême ».

Cette réussite s'inscrit dans un contexte plus large d'effervescence. Le 19 juillet, Levent Alpöge, mathématicien chez Anthropic, a annoncé que Claude Fable 5 avait réfuté la conjecture jacobienne, énoncée en 1939 par le mathématicien allemand Ott-Heinrich Keller et jamais démontrée depuis. Le 10 août, Anthropic a révélé qu'une version non publiée de Claude avait progressé sur un problème lié à la célèbre hypothèse de Riemann, formulée en 1859 et dotée d'une récompense d'un million de dollars : l'IA a coordonné de manière autonome une soixantaine de sous-agents, exécuté 2 400 commandes et procédé à des relectures croisées, tandis que l'unique contribution humaine consistait, selon Anthropic, à envoyer des messages d'encouragement. Le 1er août, OpenAI publiait de son côté un manuscrit de 249 pages annonçant que son futur modèle Astra aurait résolu dix problèmes ouverts en mathématiques et en informatique théorique.

Ces annonces suscitent cependant des réserves dans la communauté scientifique. Début juin, la déclaration de Leiden, signée par quelque 3 500 chercheurs dont le médaillé Fields Peter Scholze, a mis en garde contre des résultats diffusés via des communiqués de presse avant toute validation par les pairs, risquant de « surestimer l'importance des outils automatisés ». La prudence est d'autant plus de mise qu'à l'automne 2025, des problèmes d'Erdos présentés comme résolus par ChatGPT s'étaient révélés simplement retrouvés dans la littérature existante. Pour François Charles, directeur du département de mathématiques de l'École normale supérieure, ces outils représentent néanmoins « une vraie révolution scientifique » qui, loin de condamner les mathématiciens, ouvre un nouveau champ des possibles.

Une conférence grand public consacrée aux fractales est programmée le jeudi 21 janvier 2027 à 14h30 à l'auditorium Samuel Paty, situé au sein de la bibliothèque Abbé-Grégoire de Blois, dans le Loir-et-Cher. Elle sera animée par Yves Olivier, maître ès sciences mathématiques, qui propose régulièrement ce type de rendez-vous pédagogiques autour des mathématiques dans ce même lieu.

La conférence entend faire découvrir au public les objets géométriques dits « fractales », en partant d'une question apparemment simple : qu'est-ce que la dimension en géométrie ? La géométrie classique distingue trois grandes catégories : la dimension 1 pour les droites, la dimension 2 pour le plan et la dimension 3 pour l'espace tridimensionnel. Or, la théorie des fractales, développée par le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot (1924-2010), a bousculé cette vision en introduisant des objets géométriques dont la dimension n'est pas un nombre entier. Ces formes étranges, répétitives à toutes les échelles et impossibles à classer dans les catégories habituelles, constituent ce que l'on appelle des objets fractals.

Au-delà de leur aspect purement théorique, les fractales trouvent des applications concrètes dans de nombreux domaines scientifiques et techniques, ainsi que dans le champ artistique. La conférence se propose d'explorer ces différentes facettes, rendant accessibles à un public non spécialiste des concepts mathématiques qui peuvent paraître abstraits au premier abord.

Cet événement s'inscrit dans une série de conférences mathématiques proposées par Yves Olivier à la bibliothèque Abbé-Grégoire de Blois. Une précédente intervention du même conférencier, intitulée « La poésie des maths ou les maths en poésie », avait été organisée dans le même auditorium, illustrant la volonté de croiser les mathématiques avec d'autres disciplines culturelles, qu'il s'agisse de littérature, de poésie ou, cette fois, de géométrie visuelle et d'art.