Numérique

Depuis l'automne 2025, l'intelligence artificielle multiplie les avancées spectaculaires dans le domaine des mathématiques, au point de résoudre des problèmes restés ouverts depuis des décennies, voire près d'un siècle.

L'une des percées les plus remarquables concerne la conjecture dite des « distances unitaires », formulée en 1946 par le mathématicien hongrois Paul Erdos (1913-1996). Ce problème, classé parmi les dix plus difficiles de la liste des 1 217 énigmes laissées par Erdos, posait la question du nombre de paires de points séparés par une distance exactement égale à 1 parmi un ensemble de n points dans le plan. La conjecture était généralement tenue pour vraie par la communauté mathématique, qui cherchait à la démontrer. Le 20 mai 2026, OpenAI a annoncé qu'elle avait été réfutée par ChatGPT dans sa version 5.2, sortie en décembre 2025. Fait notable : la solution n'a pas été produite par des chercheurs ou des ingénieurs d'OpenAI, mais par de simples amateurs utilisant leur abonnement personnel. La démonstration, publiée formellement, a été validée par des mathématiciens de renom. Ce qui déconcerte les spécialistes tient moins au résultat qu'à la méthode : l'IA a mobilisé des champs mathématiques que personne n'avait envisagé d'appliquer à ce problème. Le mathématicien Arul Shankar la qualifie de preuve « très humaine, quoique d'une ingéniosité extrême ».

Cette réussite s'inscrit dans un contexte plus large d'effervescence. Le 19 juillet, Levent Alpöge, mathématicien chez Anthropic, a annoncé que Claude Fable 5 avait réfuté la conjecture jacobienne, énoncée en 1939 par le mathématicien allemand Ott-Heinrich Keller et jamais démontrée depuis. Le 10 août, Anthropic a révélé qu'une version non publiée de Claude avait progressé sur un problème lié à la célèbre hypothèse de Riemann, formulée en 1859 et dotée d'une récompense d'un million de dollars : l'IA a coordonné de manière autonome une soixantaine de sous-agents, exécuté 2 400 commandes et procédé à des relectures croisées, tandis que l'unique contribution humaine consistait, selon Anthropic, à envoyer des messages d'encouragement. Le 1er août, OpenAI publiait de son côté un manuscrit de 249 pages annonçant que son futur modèle Astra aurait résolu dix problèmes ouverts en mathématiques et en informatique théorique.

Ces annonces suscitent cependant des réserves dans la communauté scientifique. Début juin, la déclaration de Leiden, signée par quelque 3 500 chercheurs dont le médaillé Fields Peter Scholze, a mis en garde contre des résultats diffusés via des communiqués de presse avant toute validation par les pairs, risquant de « surestimer l'importance des outils automatisés ». La prudence est d'autant plus de mise qu'à l'automne 2025, des problèmes d'Erdos présentés comme résolus par ChatGPT s'étaient révélés simplement retrouvés dans la littérature existante. Pour François Charles, directeur du département de mathématiques de l'École normale supérieure, ces outils représentent néanmoins « une vraie révolution scientifique » qui, loin de condamner les mathématiciens, ouvre un nouveau champ des possibles.

OpenAI a publié le 1er août 2026 un manuscrit de 249 pages documentant la résolution de dix problèmes mathématiques majeurs par son système Astra : un groupe non sofique explicite (27 ans après sa formulation par Gromov), la réfutation de la conjecture de rigidité de Connes, et huit autres résultats inédits en géométrie haute dimension, complexité quantique, cryptographie sur réseaux et combinatoire extrémale. Les preuves sont formalisées en Lean 4 et publiées sous licence Apache 2.0.

Le coût d'inférence estimé à 2 000 dollars soulève des questions sur l'investissement réel en entraînement et infrastructure, tandis que la mise en forme reste artisanale. Noam Brown (OpenAI) a précisé qu'Astra n'avait pas attaqué les problèmes du prix du millénaire, maintenant une distinction nette entre ces résultats et les sept énigmes majeures restantes.

Astra demeure entièrement inaccessible au public. OpenAI a accordé un accès gratuit à ses modèles frontière pour 100 000 chercheurs académiques jusqu'en 2027 et soumis le système à un examen gouvernemental avant déploiement commercial. La crédibilité de l'annonce repose désormais sur la vérification indépendante par la communauté mathématique des 249 pages et preuves formelles.

Le 1er août 2026, OpenAI a annoncé qu'une version interne de son futur système d'intelligence artificielle, baptisé Astra, était parvenue à résoudre dix problèmes ouverts en mathématiques et en informatique théorique — des questions sur lesquelles les chercheurs butaient depuis au moins une décennie, et parfois bien davantage. Les domaines concernés sont particulièrement pointus : géométrie en grande dimension, théorie des codes, théorie des groupes, complexité quantique, cryptographie sur réseaux et combinatoire extrémale, pour n'en citer que quelques-uns. Parmi les résultats les plus notables figurent la construction explicite d'un groupe dit « non-sofique » (une question centrale en théorie des groupes), la réfutation d'une conjecture de rigidité attribuée à Connes, la preuve d'un théorème de répétition parallèle quantique, ainsi que la première amélioration depuis 1978 d'une borne supérieure sur la densité d'empilement de sphères. L'ensemble des arguments mathématiques auraient été produits de façon autonome par le modèle, les chercheurs humains s'étant chargés uniquement de la mise en forme des articles et de la formalisation des preuves dans le langage de vérification Lean, qui permet un contrôle automatisé de leur exactitude. Le coût de calcul total avoisinerait 2 000 dollars par problème aux tarifs de l'API concernée. OpenAI reconnaît néanmoins ne pas avoir percé les sept « problèmes du Prix du Millénaire », chacun doté d'une récompense d'un million de dollars. Le chercheur Noam Brown a précisé que le modèle n'avait pas été poussé à ses limites computationnelles sur ces questions. Le mathématicien Thomas Bloom, de l'université de Manchester, a qualifié les résultats de « grande nouvelle », tout en rejetant l'idée d'un remplacement pur des mathématiciens, rappelant qu'Astra s'appuie sur plus d'un siècle de théorèmes humains. Ces annonces soulèvent cependant des questions inédites pour la communauté scientifique. Le lauréat de la médaille Fields Terence Tao a alerté sur le fait que l'IA fait basculer les mathématiques d'un régime de rareté — où une preuve prend des décennies — vers un régime d'abondance que les chercheurs peinent à absorber. Il signale ainsi un arriéré croissant de propositions soumises par des utilisateurs de modèles de langage sur le site recensant les conjectures d'Erdos, sans que la communauté dispose du temps pour les évaluer. La question de la paternité des résultats se pose également avec acuité : si l'IA produit seule les arguments, à qui revient le crédit scientifique ? Des interrogations qui dépassent le seul cadre technique, comme en témoigne la décision du futur lauréat de la médaille Fields Jacob Tsimerman de mettre en pause sa chaire à Toronto pour rejoindre OpenAI, afin de travailler non pas sur les mathématiques, mais sur la sécurité de l'IA elle-même.

Un neurochirurgien pékinois aux antécédents atypiques vient peut-être d'écrire une page importante de l'histoire des mathématiques. Jin Shanmu, chercheur postdoctoral au Peking Union Medical College Hospital, a grandi géologue avant de bifurquer vers la médecine, puis vers la recherche sur les ultrasons transcrâniens. Sa formation en mathématiques se limitait aux cours de premier cycle, le reste étant autodidacte. C'est en travaillant sur ces ultrasons cérébraux qu'il a croisé la conjecture de Crouzeix, un problème resté ouvert depuis 2004.

Formulée par le mathématicien français Michel Crouzeix, cette conjecture relève de l'algèbre linéaire numérique : elle affirme que la norme de l'application d'une fonction à une matrice ne dépasse jamais le double du maximum de cette fonction sur le domaine numérique de la matrice. Concrètement, cela touche à des questions fondamentales d'analyse matricielle, utilisée en physique et en informatique. Pendant vingt ans, les meilleurs spécialistes du domaine n'étaient parvenus ni à prouver ni à réfuter cette propriété.

Pour tenter de percer ce mystère, Jin Shanmu a eu recours à GPT-5.6-Sol, la version avancée du modèle d'OpenAI, qu'il a laissé travailler de manière autonome pendant seize heures sur la plateforme ChatGPT Work. Le résultat est une démonstration complète, que Jin a rédigée sous forme d'article et déposée en ligne le 27 juillet 2025.

Trois jours plus tard, le mathématicien Alex Townsend, de l'université Cornell, qui consultait régulièrement depuis plus d'un an les modèles GPT pour attaquer cette même conjecture, a été informé par l'IA de l'existence de cet article. Avec Anne Greenbaum, professeure à l'université de Washington, et Michel Crouzeix lui-même, il a examiné le manuscrit. Tous trois ont jugé la démonstration correcte. Townsend et Greenbaum ont publié un compte rendu de ces échanges, soulignant les capacités "remarquablement impressionnantes" de GPT-5.6, d'autant plus frappantes eu égard à l'absence de formation spécialisée de Jin. La preuve n'a toutefois pas encore fait l'objet d'une évaluation formelle par les pairs, étape indispensable avant toute validation définitive.

Cet épisode s'inscrit dans un mouvement plus large. En mai 2025, OpenAI avait annoncé qu'un modèle interne de raisonnement avait autonomement progressé sur un problème posé par le mathématicien hongrois Paul Erdos en 1946. La société a depuis publié une liste de dix autres problèmes sur lesquels son futur modèle Astra aurait réalisé des avancées significatives. De son côté, Anthropic a indiqué que son modèle Claude, sans parvenir à démontrer l'hypothèse de Riemann, avait néanmoins produit des résultats inattendus sur une question connexe. L'intelligence artificielle semble désormais capable non seulement de suivre des pistes humaines, mais d'en proposer de nouvelles.

Anthropic a annoncé que son modèle d'IA Claude Mythos Preview a identifié des vulnérabilités mathématiques fondamentales dans deux algorithmes cryptographiques majeurs. La première cible HAWK, un système de signature numérique en lice pour standardisation par le NIST américain : en 60 heures, l'IA a exploité une symétrie mathématique non détectée en deux ans d'examen expert, réduisant la complexité effective de HAWK-256 de 2^64 à 2^38, ce qui élimine les garanties qui rendaient ce schéma attractif pour la cryptographie post-quantique.

La seconde découverte porte sur AES, le standard de chiffrement mondial. Claude a développé « Möbius Bridge », une technique qui améliore une méthode d'attaque existante contre AES-7 rounds (version affaiblie étudiée académiquement), rendant l'attaque théorique 200 à 800 fois plus rapide en éliminant une étape de devinette massive. Ces résultats n'ont pas d'impact immédiat sur les utilisateurs, mais soulèvent des questions fondamentales : chaque découverte a coûté environ 100 000 dollars, et le goulot d'étranglement est devenu humain — un mois de travail a été nécessaire pour valider la méthode contre AES. Anthropic s'interroge sur la conduite à tenir si une IA découvrait une vulnérabilité ayant un impact réel et immédiat.

Un modèle de recherche encore non publié d'Anthropic vient d'accomplir ce que des décennies de travail mathématique humain n'avaient pu réaliser : une avancée majeure sur l'hypothèse de Riemann, l'un des problèmes les plus célèbres et les plus anciens des mathématiques. Formulée en 1859, cette conjecture porte sur la distribution des nombres premiers et est assortie d'une récompense d'un million de dollars offerte par l'Institut Clay. Elle reste à ce jour non démontrée dans sa totalité, mais le modèle d'Anthropic a franchi une étape significative en augmentant la proportion connue de zéros de la fonction zêta de Riemann situés sur la droite critique, passant de 41,6 % à 67,2 %. C'est le bond le plus important jamais réalisé en 165 ans d'histoire de ce problème, là où les mathématiciens humains avaient mis 37 ans pour faire progresser ce taux de moins d'un point de pourcentage.

L'expérience a été lancée de manière presque désinvolte : un collaborateur d'Anthropic sans formation mathématique poussée a simplement demandé au modèle de "vraiment s'attaquer" à l'hypothèse, puis l'a laissé travailler de manière autonome pendant une journée et demie. Le modèle, opérant via l'environnement Claude Code, a d'abord essuyé 650 tentatives infructueuses lors d'une première session. La seconde session a été décisive : il a coordonné une soixantaine de sous-agents, exécuté des milliers de vérifications numériques, téléchargé 54 articles scientifiques pour s'assurer que son résultat n'avait pas déjà été publié, et rédigé de lui-même un article de recherche. L'ensemble a mobilisé 31 millions de tokens en sortie.

La clé de l'avancée réside dans la synthèse : le modèle a combiné deux lignes de travaux existants — des articles de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh d'une part, et un article de Bombieri datant de 2000 d'autre part — que des chercheurs humains, cantonnés chacun dans leur sous-spécialité, n'avaient pas rapprochés. Le résultat a été validé en interne par deux mathématiciens d'Anthropic, Levent Alpöge et Ralph Furman, puis examiné par deux experts extérieurs de renom, Brian Conrey et Dan Goldston. Une preuve formelle a également été produite en langage Lean et vérifiée automatiquement, un niveau de rigueur que la plupart des publications mathématiques n'atteignent pas.

Cette annonce s'inscrit dans un contexte de montée en puissance spectaculaire des grands modèles de langage sur des tâches mathématiques de haut niveau : Anthropic avait par ailleurs, dans le même temps, invalidé la conjecture jacobienne — un problème ouvert depuis 1939 — grâce à un contre-exemple produit par un autre modèle, tandis qu'OpenAI revendiquait également la résolution de conjectures d'Erdos. Ces succès relancent un débat profond dans la communauté mathématique sur la place de l'IA dans la recherche, entre enthousiasme pour la puissance de synthèse des modèles et inquiétude sur la question de l'attribution des découvertes.

Depuis 2014, Giorgio Parisi (prix Nobel de physique 2021) et Francesco Zamponi observaient numériquement que la somme de deux paramètres clés d'un modèle de blocage (le phénomène qui rend rigides les matériaux granulaires) était toujours égale à un. Pendant dix ans, ils ont cherché une démonstration mathématique rigoureuse de cette relation, convaincus qu'une structure profonde s'y cachait.

Les deux chercheurs ont soumis le problème à Claude, d'abord pour reproduire leurs calculs numériques, puis pour prouver l'égalité. Bien que la première tentative de l'IA contenait des erreurs, son approche sous-jacente s'avérait prometteuse et a orienté Parisi et Zamponi vers une démonstration élégante, finalement publiée dans le Journal of Statistical Mechanics.

Ce cas illustre un rôle émergent de l'IA en recherche : non pas générer de nouvelles idées, mais surmonter les biais cognitifs des experts en proposant des angles ignorés. Les chercheurs ont effectué la vérification et formalisation ; l'IA a fourni la direction — un modèle de collaboration que la communauté scientifique pourrait adopter à grande échelle.

L'intelligence artificielle progresse enfin significativement en mathématiques pures. Après avoir dominé d'autres secteurs, l'IA franchit une nouvelle étape : elle n'est plus limitée à résoudre des problèmes classiques ou à recycler des solutions existantes, mais peut tacler des problèmes de recherche originaux.

Le projet First Proof, lancé par des mathématiciens américains de haut rang comme Lauren Williams (Harvard), vise à évaluer objectivement ces capacités et à dépasser les discours marketing des entreprises d'IA. Pour cela, dix mathématiciens ont fourni des problèmes qu'ils avaient personnellement résolus mais non publiés, garantissant l'absence de solutions en ligne. Cette approche rigoureuse permettrait de mesurer la véritable contribution de l'IA à la recherche mathématique, au-delà des Olympiades ou des exercices de routine.

L'École Polytechnique a annoncé la création d'un Institut de Mathématiques et Sciences Fondamentales, conçu comme une résidence scientifique accueillant mathématiciens et chercheurs du monde entier pour collaborer avec ses laboratoires et étudiants. Ce projet, imaginé il y a cinq ans par les chercheurs de l'établissement, vise à réaffirmer la place des sciences fondamentales face à la montée des applications en intelligence artificielle et technologies quantiques.

Le projet a été rendu possible par un don historique de 50 millions d'euros de Bernard Arnault, diplômé de Polytechnique. Selon la directrice générale Laura Chaubard, bien que l'IA affiche des performances spectaculaires en mathématiques et transformera profondément la recherche, l'intelligence humaine reste cruciale : elle seule peut orienter les recherches, valider les preuves et générer les intuitions créatives qui capturent la complexité du monde. La collaboration directe entre chercheurs demeure au coeur de cette vision.