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La question des capacités réelles des grands modèles de langage (LLM) en mathématiques fait l'objet d'un débat animé dans la communauté scientifique, alimenté par plusieurs travaux et prises de position récentes. D'un côté, une étude présentée à la conférence ICML 2026 par Tom Zahavy, chercheur chez Google DeepMind, intitulée « LLMs can't jump », propose un cadre analytique pour caractériser les limites de ces systèmes. L'auteur y distingue trois formes de raisonnement — l'induction, la déduction et l'abduction — pour mieux cerner ce que les LLM font ou ne font pas lorsqu'ils sont confrontés à des problèmes nouveaux.

De leur côté, deux mathématiciens de premier plan, Timothy Gowers, médaillé Fields, et Peter Sarnak, portent un jugement nuancé sur ces outils. Ils reconnaissent que les LLM sont performants pour assembler et combiner des techniques mathématiques déjà connues, mais ils estiment que ces systèmes sont dépourvus de l'intuition nécessaire à la production d'idées véritablement originales. Cette distinction entre capacité computationnelle et créativité constitue le coeur de leur analyse.

Pourtant, les mêmes sources soulignent des avancées concrètes qui compliquent ce tableau. Un modèle d'OpenAI aurait ainsi résolu une conjecture de Paul Erdos portant sur la géométrie à distance unitaire, restée ouverte depuis 1946, en mobilisant des outils issus de la théorie des nombres algébriques — une approche jugée inédite par les experts. Ce résultat, validé par neuf mathématiciens et supervisé par trois chercheurs d'OpenAI, a conduit Gowers lui-même à qualifier cette avancée de jalon important pour l'IA en mathématiques, tout en notant qu'il devient de plus en plus difficile pour les humains de rivaliser sur certains terrains.

Par ailleurs, les progrès des LLM semblent plus marqués dans les domaines où les résultats sont vérifiables, comme la programmation ou les preuves formelles, notamment grâce aux techniques d'apprentissage par renforcement. En revanche, des travaux récents montrent que les hallucinations de ces modèles — leurs réponses fausses mais assurées — ne résultent pas d'un simple manque de données, mais sont ancrées dans leur architecture même : les trajectoires internes des modèles peuvent diverger et s'éloigner activement des bonnes réponses.

Ce tableau d'ensemble dessine une réalité contrastée : des LLM capables de performances surprenantes sur des problèmes précis et vérifiables, mais dont la créativité mathématique au sens fort — celle qui consiste à forger des concepts radicalement nouveaux — reste, pour l'heure, une limite reconnue par les spécialistes eux-mêmes.

Depuis l'automne 2025, l'intelligence artificielle multiplie les avancées spectaculaires dans le domaine des mathématiques, au point de résoudre des problèmes restés ouverts depuis des décennies, voire près d'un siècle.

L'une des percées les plus remarquables concerne la conjecture dite des « distances unitaires », formulée en 1946 par le mathématicien hongrois Paul Erdos (1913-1996). Ce problème, classé parmi les dix plus difficiles de la liste des 1 217 énigmes laissées par Erdos, posait la question du nombre de paires de points séparés par une distance exactement égale à 1 parmi un ensemble de n points dans le plan. La conjecture était généralement tenue pour vraie par la communauté mathématique, qui cherchait à la démontrer. Le 20 mai 2026, OpenAI a annoncé qu'elle avait été réfutée par ChatGPT dans sa version 5.2, sortie en décembre 2025. Fait notable : la solution n'a pas été produite par des chercheurs ou des ingénieurs d'OpenAI, mais par de simples amateurs utilisant leur abonnement personnel. La démonstration, publiée formellement, a été validée par des mathématiciens de renom. Ce qui déconcerte les spécialistes tient moins au résultat qu'à la méthode : l'IA a mobilisé des champs mathématiques que personne n'avait envisagé d'appliquer à ce problème. Le mathématicien Arul Shankar la qualifie de preuve « très humaine, quoique d'une ingéniosité extrême ».

Cette réussite s'inscrit dans un contexte plus large d'effervescence. Le 19 juillet, Levent Alpöge, mathématicien chez Anthropic, a annoncé que Claude Fable 5 avait réfuté la conjecture jacobienne, énoncée en 1939 par le mathématicien allemand Ott-Heinrich Keller et jamais démontrée depuis. Le 10 août, Anthropic a révélé qu'une version non publiée de Claude avait progressé sur un problème lié à la célèbre hypothèse de Riemann, formulée en 1859 et dotée d'une récompense d'un million de dollars : l'IA a coordonné de manière autonome une soixantaine de sous-agents, exécuté 2 400 commandes et procédé à des relectures croisées, tandis que l'unique contribution humaine consistait, selon Anthropic, à envoyer des messages d'encouragement. Le 1er août, OpenAI publiait de son côté un manuscrit de 249 pages annonçant que son futur modèle Astra aurait résolu dix problèmes ouverts en mathématiques et en informatique théorique.

Ces annonces suscitent cependant des réserves dans la communauté scientifique. Début juin, la déclaration de Leiden, signée par quelque 3 500 chercheurs dont le médaillé Fields Peter Scholze, a mis en garde contre des résultats diffusés via des communiqués de presse avant toute validation par les pairs, risquant de « surestimer l'importance des outils automatisés ». La prudence est d'autant plus de mise qu'à l'automne 2025, des problèmes d'Erdos présentés comme résolus par ChatGPT s'étaient révélés simplement retrouvés dans la littérature existante. Pour François Charles, directeur du département de mathématiques de l'École normale supérieure, ces outils représentent néanmoins « une vraie révolution scientifique » qui, loin de condamner les mathématiciens, ouvre un nouveau champ des possibles.

OpenAI a publié le 1er août 2026 un manuscrit de 249 pages documentant la résolution de dix problèmes mathématiques majeurs par son système Astra : un groupe non sofique explicite (27 ans après sa formulation par Gromov), la réfutation de la conjecture de rigidité de Connes, et huit autres résultats inédits en géométrie haute dimension, complexité quantique, cryptographie sur réseaux et combinatoire extrémale. Les preuves sont formalisées en Lean 4 et publiées sous licence Apache 2.0.

Le coût d'inférence estimé à 2 000 dollars soulève des questions sur l'investissement réel en entraînement et infrastructure, tandis que la mise en forme reste artisanale. Noam Brown (OpenAI) a précisé qu'Astra n'avait pas attaqué les problèmes du prix du millénaire, maintenant une distinction nette entre ces résultats et les sept énigmes majeures restantes.

Astra demeure entièrement inaccessible au public. OpenAI a accordé un accès gratuit à ses modèles frontière pour 100 000 chercheurs académiques jusqu'en 2027 et soumis le système à un examen gouvernemental avant déploiement commercial. La crédibilité de l'annonce repose désormais sur la vérification indépendante par la communauté mathématique des 249 pages et preuves formelles.

Le 1er août 2026, OpenAI a annoncé qu'une version interne d'Astra, sa prochaine grande famille de modèles d'intelligence artificielle, était parvenue à résoudre dix problèmes ouverts en mathématiques et en informatique théorique — des questions sur lesquelles la communauté scientifique n'avait enregistré aucun progrès depuis au minimum une décennie, et souvent bien davantage. Les domaines concernés sont particulièrement pointus : géométrie en grande dimension, théorie des codes, théorie des groupes, algèbre d'opérateurs, complexité quantique, cryptographie sur les réseaux et combinatoire extrémale. Parmi les résultats les plus notables figurent la construction explicite du premier groupe dit « non sofique », la réfutation de la conjecture de rigidité de Connes, la preuve du théorème quantique de répétition parallèle, la démonstration de la conjecture du volume d'Ehrhart, et l'amélioration de la borne supérieure générale de la densité d'empilement de sphères pour la première fois depuis 1978. L'ensemble des arguments mathématiques a été produit de façon autonome par le modèle, les chercheurs humains n'intervenant que pour la mise en forme des articles et la formalisation des preuves. Chaque démonstration a par ailleurs été vérifiée de manière formelle grâce au logiciel Lean, qui certifie automatiquement l'exactitude mathématique. Le coût total de calcul est estimé à environ 2 000 dollars par problème, aux tarifs de l'API d'OpenAI. Le chercheur Noam Brown, impliqué dans le développement de la technologie de raisonnement sous-jacente, a qualifié l'initiative de « pas majeur pour le raisonnement scientifique », tout en précisant qu'Astra n'avait pas encore pu s'attaquer aux sept problèmes du Prix du Millénaire, dotés chacun d'un million de dollars. Thomas Bloom, mathématicien à l'université de Manchester et gestionnaire du site consacré aux conjectures d'Erdos, a jugé ces résultats particulièrement significatifs en matière de constructions mathématiques, nuançant toutefois l'idée d'un remplacement des mathématiciens : selon lui, l'IA s'appuie sur plus d'un siècle de théorie humaine et a été construite par des chercheurs. Du côté des mathématiciens, la réaction mêle fascination et vertige. Timothy Gowers, médaille Fields, a vu des problèmes sur lesquels il travaillait résolus dès la première tentative par une version récente du modèle d'OpenAI. Jay Cummins, autre chercheur, décrit cette situation comme une « défaite difficile à accepter ». La question de l'attribution de la paternité scientifique s'impose également : OpenAI se réfère à la Déclaration de Leiden pour justifier son choix de ne pas attribuer la paternité intellectuelle à des humains lorsque les arguments proviennent entièrement de l'IA. Un défi plus structurel émerge parallèlement. Le mathématicien Terence Tao, médaille Fields 2006, a alerté sur le risque d'un déséquilibre entre la vitesse de production de nouvelles preuves par l'IA et la capacité humaine à les vérifier et à les assimiler. Il signale un arriéré croissant de propositions soumises à des sites de conjectures mathématiques, sans que les chercheurs disposent du temps nécessaire pour les évaluer. La discipline, historiquement organisée autour de la rareté des découvertes, doit désormais faire face à un régime d'abondance inédit. Jacob Tsimerman, futur lauréat de la médaille Fields 2026, a récemment quitté sa chaire à l'université de Toronto pour rejoindre OpenAI — non pour renforcer les capacités mathématiques des modèles, mais pour travailler sur la sécurité de l'IA, signe supplémentaire d'un basculement profond dans l'organisation de la recherche mathématique mondiale.

Une conjecture mathématique posée dans les années 1990 sur l'optimisation des flux logistiques—la conjecture de Dinitz-Garg-Goemans—résistait depuis trois décennies à tous les assauts des chercheurs spécialisés en théorie des graphes. Elle pose une question concrète : peut-on imposer un trajet unique à chaque commande sans faire grimper les coûts ni saturer les réseaux ?

Le chercheur Dmitry Rybin a soumis le problème à ChatGPT (GPT-5.6 Pro) plutôt qu'à un logiciel de calcul classique. Après quatre heures d'échanges et trois relances, le modèle a livré un contre-exemple : un réseau de sept noeuds avec trois envois où le coût total est 58 en autorisant le découpage, mais monte à 60 minimum si chaque commande suit un trajet unique. Cet écart de deux unités suffirait à réfuter la conjecture.

Cependant, aucune relecture indépendante n'a encore confirmé la validité de cette construction. Le résultat, bien que potentiellement cohérent arithmétiquement, demeure en attente de validation par la communauté scientifique avant de pouvoir être considéré comme définitif.

Anthropic a annoncé que son modèle d'IA Claude Mythos Preview a identifié des vulnérabilités mathématiques fondamentales dans deux algorithmes cryptographiques majeurs. La première cible HAWK, un système de signature numérique en lice pour standardisation par le NIST américain : en 60 heures, l'IA a exploité une symétrie mathématique non détectée en deux ans d'examen expert, réduisant la complexité effective de HAWK-256 de 2^64 à 2^38, ce qui élimine les garanties qui rendaient ce schéma attractif pour la cryptographie post-quantique.

La seconde découverte porte sur AES, le standard de chiffrement mondial. Claude a développé « Möbius Bridge », une technique qui améliore une méthode d'attaque existante contre AES-7 rounds (version affaiblie étudiée académiquement), rendant l'attaque théorique 200 à 800 fois plus rapide en éliminant une étape de devinette massive. Ces résultats n'ont pas d'impact immédiat sur les utilisateurs, mais soulèvent des questions fondamentales : chaque découverte a coûté environ 100 000 dollars, et le goulot d'étranglement est devenu humain — un mois de travail a été nécessaire pour valider la méthode contre AES. Anthropic s'interroge sur la conduite à tenir si une IA découvrait une vulnérabilité ayant un impact réel et immédiat.

Anthropic a annoncé récemment que l'un de ses modèles d'intelligence artificielle en cours de développement avait accompli deux avancées mathématiques remarquables, alimentant un débat plus large sur la capacité des systèmes d'IA à produire de nouveaux résultats scientifiques.

La première concerne l'hypothèse de Riemann, formulée en 1859 et considérée comme l'un des grands problèmes non résolus des mathématiques. Elle porte sur la distribution des nombres premiers : plus précisément, elle affirme que tous les zéros significatifs d'une certaine fonction mathématique, dite fonction zêta de Riemann, se situent sur une droite particulière dans le plan complexe. Personne n'a jamais pu prouver cette conjecture, qui fait l'objet d'une récompense d'un million de dollars. Depuis des décennies, les mathématiciens progressaient toutefois indirectement, en cherchant à établir quelle proportion minimale de ces zéros satisfait bien la conjecture : ce seuil avait été porté à 41,6 %. Le modèle non encore publié d'Anthropic l'a repoussé à 67,2 %, en combinant astucieusement plusieurs résultats récents de la littérature mathématique. Deux mathématiciens maison ont validé le résultat, et une formalisation rigoureuse a été produite grâce à l'assistant de démonstration Lean. Ce résultat a été obtenu lors d'une session de travail d'environ une journée et demie, durant laquelle le modèle a coordonné une soixantaine de sous-agents, testé 650 pistes différentes et utilisé quelque 31 millions de tokens en sortie. L'initiateur de la démarche, Jarred Sumner, un employé d'Anthropic sans formation mathématique poussée, s'était contenté de demander au modèle de "faire une vraie tentative" sur l'hypothèse.

La seconde avancée, également attribuée à un modèle Claude (identifié comme Claude Fable 5), concerne la conjecture jacobienne. Énoncée en 1939 par le mathématicien Ott-Heinrich Keller, elle demandait essentiellement si une transformation polynomiale entre espaces de plusieurs variables, dont le jacobien est partout non nul, est nécessairement inversible. Pendant 87 ans, ni preuve ni contre-exemple n'avait émergé. Le chercheur d'Anthropic Levent Alpöge, spécialiste de théorie des nombres, a annoncé que le modèle avait produit un contre-exemple, une application polynomiale dans un espace complexe à trois dimensions invalidant la conjecture. Le mathématicien de Stanford Jared Duker Lichtman a relayé et analysé ce résultat, l'attribuant conjointement à Alpöge, à un collaborateur nommé Mathew et au modèle.

Ces annonces s'inscrivent dans une série de percées récentes de l'IA en mathématiques, dont plusieurs problèmes d'Erdos résolus au cours de l'année, et raviven un débat de fond dans la communauté : si des théorèmes peuvent être produits par des machines, qui en est véritablement l'auteur et qui en assume la responsabilité scientifique ? Des mathématiciens éminents, dont le lauréat de la médaille Fields Timothy Gowers, ont commencé à prendre position publiquement sur la manière dont la discipline devrait s'adapter à ces nouvelles réalités.

Depuis 2014, Giorgio Parisi (prix Nobel de physique 2021) et Francesco Zamponi observaient numériquement que la somme de deux paramètres clés d'un modèle de blocage (le phénomène qui rend rigides les matériaux granulaires) était toujours égale à un. Pendant dix ans, ils ont cherché une démonstration mathématique rigoureuse de cette relation, convaincus qu'une structure profonde s'y cachait.

Les deux chercheurs ont soumis le problème à Claude, d'abord pour reproduire leurs calculs numériques, puis pour prouver l'égalité. Bien que la première tentative de l'IA contenait des erreurs, son approche sous-jacente s'avérait prometteuse et a orienté Parisi et Zamponi vers une démonstration élégante, finalement publiée dans le Journal of Statistical Mechanics.

Ce cas illustre un rôle émergent de l'IA en recherche : non pas générer de nouvelles idées, mais surmonter les biais cognitifs des experts en proposant des angles ignorés. Les chercheurs ont effectué la vérification et formalisation ; l'IA a fourni la direction — un modèle de collaboration que la communauté scientifique pourrait adopter à grande échelle.