Numérique

La conjecture jacobienne, formulée en 1939 par le mathématicien Ott-Heinrich Keller, pose une question fondamentale : une transformation polynomiale utilisant uniquement additions et multiplications permet-elle toujours de retrouver les données initiales ? Pendant 87 ans, cette question est restée sans réponse, figurant même sur la liste des défis mathématiques du siècle établie en 1998.

Le modèle Claude Fable 5 d'Anthropic vient de produire un contre-exemple : une application polynomiale dans l'espace complexe à trois dimensions qui invalide cette conjecture. L'annonce, relayée par le chercheur Levent Alpöge de Harvard, a rapidement suscité l'enthousiasme de la communauté scientifique, notamment du mathématicien Jared Duker Lichtman de Stanford qui a décortiqué le résultat.

Cette avancée s'inscrit dans une série de résolutions spectaculaires : quelques jours auparavant, OpenAI revendiquait la résolution d'une conjecture d'Erdos datant de 1946. Ces succès alimentent le débat sur la rapidité avec laquelle les modèles d'IA progressent sur des tâches de raisonnement abstrait.

Depuis 2014, Giorgio Parisi (prix Nobel de physique 2021) et Francesco Zamponi observaient numériquement que la somme de deux paramètres clés d'un modèle de blocage (le phénomène qui rend rigides les matériaux granulaires) était toujours égale à un. Pendant dix ans, ils ont cherché une démonstration mathématique rigoureuse de cette relation, convaincus qu'une structure profonde s'y cachait.

Les deux chercheurs ont soumis le problème à Claude, d'abord pour reproduire leurs calculs numériques, puis pour prouver l'égalité. Bien que la première tentative de l'IA contenait des erreurs, son approche sous-jacente s'avérait prometteuse et a orienté Parisi et Zamponi vers une démonstration élégante, finalement publiée dans le Journal of Statistical Mechanics.

Ce cas illustre un rôle émergent de l'IA en recherche : non pas générer de nouvelles idées, mais surmonter les biais cognitifs des experts en proposant des angles ignorés. Les chercheurs ont effectué la vérification et formalisation ; l'IA a fourni la direction — un modèle de collaboration que la communauté scientifique pourrait adopter à grande échelle.

L'intelligence artificielle progresse enfin significativement en mathématiques pures. Après avoir dominé d'autres secteurs, l'IA franchit une nouvelle étape : elle n'est plus limitée à résoudre des problèmes classiques ou à recycler des solutions existantes, mais peut tacler des problèmes de recherche originaux.

Le projet First Proof, lancé par des mathématiciens américains de haut rang comme Lauren Williams (Harvard), vise à évaluer objectivement ces capacités et à dépasser les discours marketing des entreprises d'IA. Pour cela, dix mathématiciens ont fourni des problèmes qu'ils avaient personnellement résolus mais non publiés, garantissant l'absence de solutions en ligne. Cette approche rigoureuse permettrait de mesurer la véritable contribution de l'IA à la recherche mathématique, au-delà des Olympiades ou des exercices de routine.

L'École Polytechnique a annoncé la création d'un Institut de Mathématiques et Sciences Fondamentales, conçu comme une résidence scientifique accueillant mathématiciens et chercheurs du monde entier pour collaborer avec ses laboratoires et étudiants. Ce projet, imaginé il y a cinq ans par les chercheurs de l'établissement, vise à réaffirmer la place des sciences fondamentales face à la montée des applications en intelligence artificielle et technologies quantiques.

Le projet a été rendu possible par un don historique de 50 millions d'euros de Bernard Arnault, diplômé de Polytechnique. Selon la directrice générale Laura Chaubard, bien que l'IA affiche des performances spectaculaires en mathématiques et transformera profondément la recherche, l'intelligence humaine reste cruciale : elle seule peut orienter les recherches, valider les preuves et générer les intuitions créatives qui capturent la complexité du monde. La collaboration directe entre chercheurs demeure au coeur de cette vision.

Les systèmes d'intelligence artificielle franchissent des étapes remarquables en mathématiques : ils résolvent des problèmes sur lesquels les chercheurs buten­taient depuis des décennies et établissent des théorèmes jusque-là inaccessibles. Cette avancée soulève des questions fondamentales sur le rôle futur des mathématiciens et des enseignants.

La mathématicienne Sylvia Serfaty, reçue à l'Académie des sciences, et le chercheur Amaury Hayat, spécialiste de l'IA en mathématiques, examinent ces enjeux : l'intelligence artificielle doit-elle être considérée comme un outil au service de la recherche ou comme une menace pour le métier ? Ces débats interviennent au moment où des centaines de milliers de lycéens passent l'épreuve de mathématiques du baccalauréat, soulevant des questions sur la pertinence des évaluations traditionnelles face à ces nouvelles capacités.

La Déclaration de Leiden sur l'intelligence artificielle et les mathématiques, issue d'un atelier aux Pays-Bas et soutenue par l'Union mathématique internationale, ne rejette pas l'IA mais appelle à encadrer son usage. Les mathématiciens craignent que les modèles ne puissent pas fournir des démonstrations véritablement compréhensibles et vérifiables : une preuve mathématique ne se réduit pas à une réponse correcte, elle doit pouvoir être lue, validée et intégrée dans le corpus des connaissances.

Le texte soulève plusieurs enjeux concrets : le contrôle des outils par des entreprises privées crée un déséquilibre avec les laboratoires universitaires ; l'absence de citation des sources utilisées par l'IA efface la contribution des chercheurs ; enfin, la rapidité des annonces publiques devance souvent la vérification rigoureuse par la communauté. Pour préserver l'autonomie intellectuelle des mathématiques, la déclaration propose notamment de rendre obligatoire la divulgation de l'usage de l'IA, de renforcer l'évaluation par les pairs et d'investir dans des infrastructures publiques de calcul.

Créée en 2025, l'équipe-projet MEGAVOLT vise à réconcilier deux domaines majeurs : les mathématiques appliquées et l'informatique. Dirigée par Bruno Després et Gérard Biau, elle observe les algorithmes d'apprentissage automatique à travers le prisme des équations aux dérivées partielles (EDP), des outils puissants pour modéliser des phénomènes complexes. L'objectif est de réécrire les problèmes d'IA sous forme mathématique pour mieux comprendre et maîtriser leurs mécanismes internes, souvent opaques même pour leurs concepteurs.

Cette approche repose sur une observation clé : plusieurs aspects du deep learning peuvent être interprétés comme de nouvelles classes d'équations d'évolution. En reliant modélisation physique et apprentissage automatique, MEGAVOLT vise à améliorer l'efficacité et la sécurité des systèmes d'IA, notamment les modèles de langage et les simulations de phénomènes physiques complexes. Cette démarche s'inscrit dans un contexte historique : l'informatique moderne ayant été fondée par des mathématiciens (Turing, von Neumann, Shannon), le projet entend restaurer un dialogue scientifique brouillé par l'autonomisation de l'apprentissage automatique.

Historiquement, la validité d'un théorème reposait sur le consensus d'une élite capable de le relire. Cependant, certaines démonstrations contemporaines dépassent désormais les milliers de pages, rendant leur vérification impossible pour un cerveau humain seul. Des langages comme Lean transforment les raisonnements mathématiques en code informatique, permettant à une machine de garantir avec certitude absolue la justesse d'un théorème.

L'intégration de l'IA dans ce processus accélère drastiquement la recherche : des modèles de langage proposent des conjectures que des outils vérificateurs valident ou invalident automatiquement. Des projets d'envergure mondiale, menés notamment par Kevin Buzzard et Terence Tao, visent à numériser l'intégralité du corpus mathématique pour créer une base de savoirs lisible par les machines.

Cette mutation engendre des enjeux géopolitiques majeurs. La maîtrise de ces outils offre un avantage décisif en cryptographie, défense ou physique nucléaire. Elle soulève aussi des questions éthiques fondamentales : la beauté d'une démonstration subsiste-t-elle si elle n'est plus compréhensible par l'humain ? Les mathématiques, longtemps la dernière science purement humaine, risquent-elles de devenir une simple branche de l'informatique théorique ?