Numérique

La Déclaration de Leiden sur l'intelligence artificielle et les mathématiques, issue d'un atelier aux Pays-Bas et soutenue par l'Union mathématique internationale, ne rejette pas l'IA mais appelle à encadrer son usage. Les mathématiciens craignent que les modèles ne puissent pas fournir des démonstrations véritablement compréhensibles et vérifiables : une preuve mathématique ne se réduit pas à une réponse correcte, elle doit pouvoir être lue, validée et intégrée dans le corpus des connaissances.

Le texte soulève plusieurs enjeux concrets : le contrôle des outils par des entreprises privées crée un déséquilibre avec les laboratoires universitaires ; l'absence de citation des sources utilisées par l'IA efface la contribution des chercheurs ; enfin, la rapidité des annonces publiques devance souvent la vérification rigoureuse par la communauté. Pour préserver l'autonomie intellectuelle des mathématiques, la déclaration propose notamment de rendre obligatoire la divulgation de l'usage de l'IA, de renforcer l'évaluation par les pairs et d'investir dans des infrastructures publiques de calcul.

Créée en 2025, l'équipe-projet MEGAVOLT vise à réconcilier deux domaines majeurs : les mathématiques appliquées et l'informatique. Dirigée par Bruno Després et Gérard Biau, elle observe les algorithmes d'apprentissage automatique à travers le prisme des équations aux dérivées partielles (EDP), des outils puissants pour modéliser des phénomènes complexes. L'objectif est de réécrire les problèmes d'IA sous forme mathématique pour mieux comprendre et maîtriser leurs mécanismes internes, souvent opaques même pour leurs concepteurs.

Cette approche repose sur une observation clé : plusieurs aspects du deep learning peuvent être interprétés comme de nouvelles classes d'équations d'évolution. En reliant modélisation physique et apprentissage automatique, MEGAVOLT vise à améliorer l'efficacité et la sécurité des systèmes d'IA, notamment les modèles de langage et les simulations de phénomènes physiques complexes. Cette démarche s'inscrit dans un contexte historique : l'informatique moderne ayant été fondée par des mathématiciens (Turing, von Neumann, Shannon), le projet entend restaurer un dialogue scientifique brouillé par l'autonomisation de l'apprentissage automatique.

Historiquement, la validité d'un théorème reposait sur le consensus d'une élite capable de le relire. Cependant, certaines démonstrations contemporaines dépassent désormais les milliers de pages, rendant leur vérification impossible pour un cerveau humain seul. Des langages comme Lean transforment les raisonnements mathématiques en code informatique, permettant à une machine de garantir avec certitude absolue la justesse d'un théorème.

L'intégration de l'IA dans ce processus accélère drastiquement la recherche : des modèles de langage proposent des conjectures que des outils vérificateurs valident ou invalident automatiquement. Des projets d'envergure mondiale, menés notamment par Kevin Buzzard et Terence Tao, visent à numériser l'intégralité du corpus mathématique pour créer une base de savoirs lisible par les machines.

Cette mutation engendre des enjeux géopolitiques majeurs. La maîtrise de ces outils offre un avantage décisif en cryptographie, défense ou physique nucléaire. Elle soulève aussi des questions éthiques fondamentales : la beauté d'une démonstration subsiste-t-elle si elle n'est plus compréhensible par l'humain ? Les mathématiques, longtemps la dernière science purement humaine, risquent-elles de devenir une simple branche de l'informatique théorique ?

Les systèmes de raisonnement automatisé comme GoedelProver et APOLLO ont démontré en 2025 des progrès notables, produisant des preuves vérifiables et résolvant parfois des problèmes ouverts depuis longtemps. GoedelProver, entraîné sur 1,64 million d'énoncés formalisés, atteint une précision de 90,4 % avec auto-correction. Ces avancées ont été examinées lors de la conférence « IA et Mathématiques » (avril 2025) organisée par HiPARIS, révélant le rôle croissant de la vérification formelle en recherche mathématique.

Cependant, selon Amaury Hayat (École des Ponts ParisTech), les principaux obstacles restent méthodologiques : la rareté des données en domaines spécialisés limite l'efficacité de l'entraînement classique, et les IA maîtrisent mieux le langage naturel que le langage formel, pourtant indispensable pour la vérification automatique rigoureuse. Son projet DESCARTES explore l'apprentissage par renforcement et la traduction automatique langage naturel-formel pour progresser.

L'IA ne produit pas encore des preuves surpassant les mathématiciens, mais elle devient un assistant efficace : elle combine des fragments de solutions dispersées dans la littérature et gagne du temps en explorant plusieurs domaines simultanément, quasi comme « un collègue très expérimenté à disposition ».

Kahoot!, plateforme d'apprentissage basée sur le jeu avec plus d'un milliard de joueurs en 2018, a acquis DragonBox, studio nordique spécialisé dans les applications mathématiques interactives. DragonBox, fondée en 2012, a lancé des jeux d'algèbre et un programme de cours de mathématiques devenu populaire auprès des enfants, parents et enseignants dans le monde entier.

Cette acquisition stratégique vise à renforcer l'offre mathématique de Kahoot!, dont les mathématiques constituent déjà le sujet le plus populaire sur la plateforme. En intégrant les applications primées et la communauté d'utilisateurs de DragonBox, Kahoot! ambitionne de proposer aux centaines de millions de ses utilisateurs une meilleure expérience d'apprentissage des mathématiques, tant en classe que hors de la classe.

L'informatique quantique se heurte à un défi fondamental : tous les calculs doivent être réversibles, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir reconstituer l'opération initiale à partir du résultat final. Or la méthode de Karatsuba, efficace sur ordinateurs classiques pour multiplier de grands nombres (elle les divise en plus petits, puis agrège les résultats), génère des intermédiaires qu'un ordinateur classique peut oublier mais qu'une machine quantique doit conserver, créant un coût mémoire prohibitif.

Craig Gidney, ingénieur à Google Quantum AI, a publié en avril sur ArXiv un algorithme qui contourne ce problème en transformant directement les entrées en sorties sans laisser de résultats intermédiaires. Bien que les ordinateurs quantiques actuels ne sachent multiplier que des nombres à un chiffre, cet algorithme sera prêt quand ces machines gagneront en puissance—contribuant ainsi à rapprocher la suprématie quantique pratique.

Cray a été sélectionnée pour développer Frontier, un supercalculateur exaflopique destiné à l'un des laboratoires du département américain à l'énergie. Avec une puissance de 1,5 exaflops, il représentera le projet de supercalculateur le plus puissant au monde à sa mise en service prévue en 2021.

Ce projet majeur mobilise un investissement de 600 millions de dollars. Contrairement à la tendance historique du secteur, Frontier sera équipé de processeurs AMD plutôt que d'Intel, marquant un changement significatif dans l'architecture des supercalculateurs de cette classe.

Née en 1815 d'une relation scandaleuse entre Lord Byron et une aristocrate érudite, Ada Lovelace reçoit une éducation scientifique rigoureuse de la part de sa mère, férue de mathématiques. À 17 ans, elle rencontre le mathématicien Charles Babbage et collabore pendant 20 ans à l'amélioration de sa « machine analytique », l'ancêtre de l'ordinateur moderne.

À 27 ans, Ada traduit un article sur les machines à calculer et y ajoute des notes révolutionnaires où elle esquisse comment une machine pourrait exécuter des instructions de façon autonome. Elle décrit un enchaînement d'opérations pour calculer une suite mathématique et pressent que la machine pourrait manipuler non seulement des nombres, mais aussi des lettres et des symboles. Cette intuition fonde le premier programme informatique de l'histoire.

Malgré une mort précoce à 36 ans, Ada a profondément influencé l'informatique. Son héritage s'affirme progressivement : en 1979, le département de la Défense américain nomme un langage de programmation « Ada » en son honneur, et le CNRS appelle un supercalculateur de son nom.