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Le « Café LAB » de Montpellier accueille ce mardi 4 février le mathématicien et musicologue Moreno Andreatta pour explorer les rapports profonds entre mathématiques et création musicale. La conversation revisitée une intuition de Leibniz : la musique serait-elle un calcul secret que l'âme ignore ? L'intervention portera sur les processus algorithmiques élémentaires qui canalisent l'inspiration et structurent les formes musicales.

Cette manifestation s'inscrit dans les « Café LAB » mensuels de la région Montpellier, dédiés aux croisements entre corps, recherche et sciences numériques. L'événement est gratuit et ouvert à tous, avec bar et petite restauration sur place.

En 1955, le mathématicien John Nash a démontré l'existence d'objets géométriques paradoxaux : des surfaces à la fois lisses et grumeleuses, défiant l'intuition ordinaire. Pendant des décennies, ces créations restaient invisibles, purement théoriques. Une équipe soutenue par la région Rhône-Alpes, dirigée par Vincent Borelli (université Lyon 1), a réussi à produire les premières images de ces objets en les nommant « fractales lisses » — une classe nouvelle d'objets situés à l'interface entre le monde des fractales infiniment rugueuses et celui des surfaces parfaitement lisses comme la sphère.

Cette découverte illustre comment une idée mathématique simple peut rester invisible pendant des décennies avant d'être explicitement reconnue, malgré sa puissance conceptuelle. Elle repose sur une collaboration interdisciplinaire étroite entre mathématiciens, informaticiens et spécialistes en synthèse d'images. Au-delà de la théorie pure, cette visualisation ouvre la voie à l'identification de fractales lisses dans les structures naturelles, élargissant ainsi le champ des applications possibles en géométrie et au-delà.

Les équations de Navier-Stokes, découvertes au XIXe siècle, décrivent l'évolution des fluides et sont essentielles en mécanique des fluides, météorologie, océanographie et aérodynamique. Malgré plus d'un siècle de recherche, un problème mathématique fondamental restait irésolu : ces équations possèdent-elles toujours des solutions uniques et stables pour des conditions initiales données ? C'est ce qu'on appelle être un « problème bien posé » au sens du mathématicien Hadamard.

En 2000, l'Institut de mathématiques Clay a établi une liste de sept problèmes du prix du millénaire, chacun récompensé d'un million de dollars. Mukhtarbay Otelbayev, mathématicien de l'Eurasian National University au Kazakhstan, annonce après trois décennies de travail avoir apporté une solution à ce défi. Si sa démonstration s'avère valide, il deviendrait le second mathématicien à résoudre l'un de ces prix majeurs, après le Russe Grigori Perelman qui avait prouvé la conjecture de Poincaré.

Des chercheurs de l'Université libre de Bruxelles, menés par le professeur F. Thomas Bruss et l'étudiant Mitia Duerinckx, ont développé un modèle mathématique des sociétés humaines reposant sur deux hypothèses universelles : le désir de survie et celui d'améliorer son niveau de vie. En cas de conflit, la survie prime.

Leur théorème établit l'existence de deux sociétés mathématiquement extrêmes : la société « weakest-first » (priorité aux plus faibles demandes, forme extrême du communisme) et la société « strongest-first » (priorité aux plus fortes demandes, forme extrême du capitalisme). Une fois la population suffisamment grande, ces deux systèmes deviennent les limites de probabilité de survie respectivement maximale et minimale.

Ces deux extrêmes forment une enveloppe mathématique dont aucune société concrète ne peut s'échapper, quel que soit son système politique. L'humanité ayant déjà expérimenté le capitalisme et le communisme, elle a donc d'ores et déjà traversé les deux frontières possibles de l'organisation sociale.

Les éditions Des ronds dans l'O ont publié le 23 janvier « Le théorème de Karinthy », une bande dessinée de Jörg Ulbert et Jörg Mailliet qui explore un concept mathématique fascinant : le théorème du mathématicien hongrois Frigyes Karinthy (1887-1938), également connu sous le nom de « six degrés de séparation ». Ce théorème affirme que tout individu sur Terre est relié à n'importe quel autre par une chaîne de connaissances comptant au maximum cinq intermédiaires.

L'intrigue se déploie à Berlin-Ouest en 1981, au coeur de la Guerre froide. Un policier fédéral allemand utilise ce théorème pour retrouver un terroriste en clandestinité depuis des années : en reconstituant la vie de sa cible, il espère identifier les maillons qui le relieront au fugitif. Parallèlement, le terroriste prépare un enlèvement censé amplifier l'impact de ses actions politiques. Ce thriller mêle ainsi enjeux mathématiques, tensions de la Guerre froide et exploration des mouvements d'extrême gauche.

Le texte décrit une opération de police menée le 23 juin dans le Bas-Rhin, impliquant environ cent policiers et gendarmes. Celle-ci a abouti au démantèlement d'un réseau criminel organisé spécialisé dans le vol de véhicules de luxe auprès de concessions automobiles alsaciennes. L'annonce a été faite publiquement par le parquet de Strasbourg le 3 juillet.

Cet article n'a aucun rapport avec les mathématiques. Le titre fait référence à Oberwolfach, célèbre institut de recherche mathématique en Allemagne, mais le contenu traite exclusivement d'une affaire criminelle sans dimension mathématique.

Les statistiques sont utiles mais semées d'embûches à plusieurs niveaux : le choix de ce qu'on décide de mesurer, la collecte des données, leur traitement mathématique, et enfin leur interprétation. Les biais peuvent naître d'une volonté délibérée de tromper, mais aussi d'une méconnaissance des subtilités de la discipline. Afficher chaque jour les cours de Bourse plutôt que les indicateurs d'inégalité illustre comment le choix de ce que l'on compte oriente déjà les statistiques.

Plusieurs pièges classiques sont détaillés : un échantillon doit être choisi aléatoirement ou respecter certaines proportions pour être représentatif ; les moyennes et pourcentages écrasent la diversité et ne révèlent pas les causes ; la confusion entre corrélation et causalité reste une « plaie » majeure (le statisticien Ronald Fisher notait vers 1950 que la corrélation entre tabagisme et cancer du poumon était symétrique, ne prouvant pas le lien causal). L'entretien illustre enfin le paradoxe de Simpson : dans chaque région française, les agriculteurs consommaient plus de pommes de terre que les non-agriculteurs, mais globalement c'était l'inverse — un phénomène explicable par la répartition régionale des populations.

Deux mathématiciens appliqués de l'Université de New York, Leif Ristroph et Stephen Childress, ont conçu un drone miniature révolutionnaire en s'inspirant du mécanisme de propulsion des méduses. Cet engin, haut d'une dizaine de centimètres et pesant seulement 2,1 grammes, utilise quatre ailes latérales en forme de pétales pour se mouvoir et maintenir un vol stationnaire extrêmement stable—même lors de chocs.

Contrairement aux micro-drones imitant les insectes ou les colibris, ce robot n'a besoin ni de servomoteurs complexes ni d'ailerons de stabilisation pour garder son équilibre. Sa légèreté provient d'une architecture minimale : fibres de carbone, jointures en téflon, revêtement en Mylar, et un moteur de 1,1 gramme commandé par câble électrique plutôt que par batterie embarquée.

Les applications envisagées vont de la surveillance militaire aux mesures civiles de pollution atmosphérique : un essaim d'une centaine de ces drones pourrait cartographier la qualité de l'air au-dessus des villes. L'Université de New York a déposé un brevet pour cette recherche, et les résultats promettent aussi une meilleure compréhension de la propulsion marine.

La conjecture des nombres premiers jumeaux, attribuée au mathématicien grec Euclide, cherche à prouver l'existence d'une infinité de paires de nombres premiers séparés de 2 (comme 3 et 5). En avril 2013, Yitang Zhang a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers dont l'écart est inférieur à 70 millions. Quelques mois plus tard, James Maynard, postdoctorant au Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal, a réduit cet écart à 600 — un progrès considérable.

Maynard a atteint ce résultat en simplifiant la méthode de Zhang via sa thèse de doctorat. Son approche est tellement accessible que son directeur de recherche affirme qu'elle "peut être enseignée dans un cours de troisième cycle". Des centaines de chercheurs collaborent désormais sur la plateforme Polymaths pour diminuer davantage l'écart, une démarche exceptionnelle dans une discipline où le travail solitaire prévaut.

Bien que Maynard soit persuadé que la conjecture est vraie, il estime que sa méthode ne permettra de réduire l'écart qu'à 6, et qu'une autre approche sera nécessaire pour atteindre 2. Ces nombres premiers sont cruciaux : ils assurent la sécurité des données bancaires en ligne et pourraient éclairer des problèmes complexes en ingénierie et chimie.