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John Pardon, mathématicien américain de 37 ans, est récompensé par la médaille Fields 2026 pour une série de percées en géométrie et topologie plutôt que pour la résolution d'un unique problème emblématique. Ses contributions portent notamment sur les cycles fondamentaux virtuels, les catégories de Fukaya, la géométrie énumérative et la théorie des noeuds, toutes ancrées dans la géométrie symplectique, une discipline née de la mécanique classique qui demeure centrale en physique théorique moderne.

Parmi ses résultats majeurs, Pardon a développé avec ses collaborateurs Sheel Ganatra et Vivek Shende une méthode révolutionnaire pour découper les espaces géométriques complexes en morceaux étudiables séparément, puis les reconstruire sans perdre leurs propriétés essentielles — un problème qui avait résisté aux tentatives pendant des années. Il a également proposé une nouvelle approche conceptuelle des cycles fondamentaux virtuels qui permet de compter rigoureusement des objets géométriques même en configurations dégénérées, simplifiant considérablement un domaine devenu extrêmement complexe.

Pardon s'est distingué dès ses études à Princeton en résolvant à la licence un problème posé par Mikhaïl Gromov, ce qui lui a valu le prix Morgan en 2012. Après sa thèse à Stanford, il a été recruté directement comme professeur à Princeton à 27 ans, sans poste postdoctoral. Il travaille aujourd'hui au Simons Center for Geometry and Physics de Stony Brook, à l'interface entre géométrie, topologie et physique théorique.

Le sixième problème de Hilbert, présenté en 1900, proposait d'axiomatiser les théories physiques en s'appuyant sur des fondements mathématiques rigoureux. Un aspect crucial consistait à démontrer l'équivalence logique entre trois niveaux de description d'un gaz : les lois newtoniennes gouvernant les molécules isolées, l'équation statistique de Boltzmann au niveau intermédiaire, et les équations de Navier-Stokes à l'échelle macroscopique.

Pendant plus d'un siècle, les mathématiciens ont échoué à franchir le premier passage critique, du microscopique au mésoscopique. L'obstacle majeur résidait dans la « chaos combinatoire » des collisions répétées : démontrer que les molécules se percutent rarement entre elles, condition cruciale pour valider Boltzmann, semblait insurmontable. En 1975, Oscar Lanford avait réussi une preuve, mais uniquement pour des durées infimes.

En 2023, Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma ont franchi ce barrage en démontrant l'hypothèse de Boltzmann sur des horizons de temps beaucoup plus longs, complétant ainsi la chaîne logique jusqu'aux équations macroscopiques. Ce résultat, qualifié de « magnifique » par la communauté, illumine aussi la question de l'irréversibilité du temps en physique.

Yu Deng vient d'être nommé l'un des quatre nouveaux médaillés Fields pour ses travaux à l'interface des équations aux dérivées partielles, des probabilités et de la physique mathématique. La distinction couronne notamment une démonstration réalisée avec Zaher Hani et Xiao Ma, qui établit rigoureusement comment le comportement collectif d'un gaz émerge des collisions entre milliards de particules. Cette question, formulée dans le sixième problème de Hilbert, résistait depuis les années 1970.

L'obstacle principal était le contrôle mathématique des « recollisions multiples » entre particules : Oscar Lanford avait réussi à dériver l'équation de Boltzmann des lois de Newton, mais uniquement sur des temps très courts. Yu Deng et ses collaborateurs ont franchi ce cap en développant une approche sophistiquée basée sur l'analyse d'énormes « arbres de collisions » décrivant les rencontres entre particules. Leur preuve repose sur une virtuosité combinatoire impressionnante plutôt que sur une nouvelle intuition physique.

Bien que cette démonstration constitue un exploit mathématique indéniable, elle n'apporte pas de compréhension nouvelle des mécanismes physiques en jeu. Elle ferme néanmoins un chapitre longtemps ouvert et pourrait ouvrir la voie à des preuves ultérieures plus conceptuelles et plus élégantes.

Le Centre de recherches mathématiques (CRM) de l'Université de Montréal lance un programme thématique « Mathématiques pour la santé » réunissant mathématiciens, statisticiens, épidémiologistes et cliniciens. Dirigé par Bouchra Nasri avec des collègues des universités Simon Fraser et McGill, il vise à démontrer comment la modélisation mathématique, l'analyse statistique et l'IA éclairent les grands défis sanitaires — de la gestion épidémiologique aux essais cliniques en passant par la médecine de précision.

La COVID-19 a illustré le rôle crucial de ces outils : modèles de reproduction virale, projections hospitalières, évaluation vaccinale. Mais les applications s'étendent à l'analyse génomique, l'immunologie computationnelle et l'utilisation responsable de l'IA en diagnostic. Quatorze chercheurs de renommée internationale seront en résidence pour au moins un mois, financés par la Fondation Simons.

Le programme investit aussi dans la formation : 60 000 $ soutiennent la participation d'étudiants et postdoctorants. Des collaborations internationales, notamment en Afrique et Australie, visent à renforcer les réseaux de recherche et rapprocher la théorie mathématique des problèmes concrets de santé.

Un modèle de recherche inédit d'Anthropic vient de réaliser ce que les mathématiciens n'avaient pas réussi à accomplir en 37 ans : faire progresser significativement la conjecture de Riemann, l'un des grands problèmes non résolus des mathématiques depuis 1859. Ce problème porte sur la distribution des nombres premiers et est assorti d'une récompense d'un million de dollars par l'Institut Clay. Plus précisément, la conjecture prédit que les zéros d'une certaine fonction mathématique — la fonction zêta de Riemann — s'alignent tous sur une droite verticale particulière appelée droite critique. Si personne n'a encore pu le prouver ou le réfuter dans sa globalité, les mathématiciens cherchaient au moins à établir quelle proportion minimale de ces zéros respecte cette règle. Depuis 1989, ce seuil était bloqué à 41,6 %. En un jour et demi seulement, le modèle d'Anthropic l'a porté à 67,2 %, soit le bond le plus important jamais accompli depuis l'énoncé de la conjecture.

La démarche est aussi remarquable que le résultat. Un employé d'Anthropic sans formation mathématique poussée a simplement demandé au modèle de « s'attaquer sérieusement » au problème, puis l'a laissé travailler de façon autonome. Le modèle a d'abord testé 650 pistes infructueuses lors d'une première session. Lors de la seconde, il a coordonné une soixantaine de sous-agents, exécuté des milliers de commandes et scripts, téléchargé 54 articles scientifiques pour s'assurer de l'originalité de sa découverte, avant de formaliser un résultat en 31 millions de tokens de sortie. Sa contribution essentielle a consisté à combiner deux lignes de recherche existantes — des travaux récents de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh, et un article de Bombieri datant de 2000 — que les spécialistes, cantonnés chacun dans leur domaine, n'avaient pas encore reliées entre elles.

La rigueur du résultat a été soigneusement vérifiée : deux mathématiciens d'Anthropic, Levent Alpöge et Ralph Furman, ont examiné la démonstration en détail ; une preuve formelle a été rédigée dans le langage de vérification automatique Lean et validée avec succès ; et deux experts extérieurs de premier plan, Brian Conrey et Dan Goldston — dont les propres travaux ont servi de fondation au résultat — ont accepté de relire le papier. Des limites importantes sont toutefois reconnues : la preuve n'a pas encore été soumise à une revue par les pairs classique, et le modèle utilisé n'est pas encore disponible publiquement, ce qui rend la reproduction exacte de la démarche impossible pour l'instant.

Cette avancée s'inscrit dans un contexte plus large d'accélération des capacités mathématiques des intelligences artificielles. Quelques jours plus tôt, un autre modèle d'Anthropic avait, selon plusieurs sources, produit un contre-exemple réfutant la conjecture jacobienne, ouverte depuis 1939. OpenAI aurait également annoncé des résultats sur plusieurs problèmes non résolus. Ces succès successifs relancent le débat dans la communauté scientifique sur le rôle de l'IA en recherche mathématique, entre enthousiasme face à ces capacités nouvelles de synthèse et interrogations sur la notion d'auteur et de responsabilité dans la production de preuves.

En octobre 1793, la République française tenta une expérience audacieuse : remplacer le système horaire traditionnel par un système décimal. La journée devait être divisée en 10 heures de 100 minutes décimales chacune, chaque minute contenant 100 secondes. Des horloges furent installées dans les mairies et les activités officielles enregistrées selon ce nouveau calendrier. Cependant, cette réforme s'avéra rapidement impraticable : elle isolait la France de ses voisins, la population rurale rechignait au repos tous les dix jours au lieu de sept, et les conversions d'horloges posèrent des défis techniques. Le système ne dura guère plus d'un an.

La raison pour laquelle nous conservons le système 24/60/60 remonte aux Sumériens de Mésopotamie (5300-1940 av. J.-C.). Ce peuple ancien, créateur de la première écriture connue, inventa un système de numération en base 60, le système sexagésimal. Plusieurs théories tentent d'expliquer cette spécificité : une hypothèse évoque le comptage sur les articulations des doigts (12 par main, multipliées par 5). Le véritable avantage du 60 réside dans sa divisibilité exceptionnelle : il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 sans fractions décimales, tandis que 10 ne l'est que par 1, 2, 5 et 10.

Ce système, d'abord employé par les Sumériens pour la comptabilité, les impôts et le partage des terres, fut repris par les Babyloniens. Bien qu'aucune preuve formelle n'atteste que les Sumériens mesurant le temps, les Babyloniens utilisaient des cadrans solaires et des horloges à eau vers 1000 av. J.-C. L'héritage de cette civilisation ancienne perdure ainsi jusqu'à nos montres actuelles, tant de siècles après la disparition de ceux qui l'inventèrent.

Levent Alpöge, théoricien des nombres chez Anthropic, a annoncé dimanche que Claude Fable 5 a résolu la conjecture jacobienne, un problème figurant sur la liste des problèmes non résolus du siècle établie par le mathématicien Stephen Smale. Restée ouverte depuis 1939, cette conjecture affirmait que si une machine mathématique (prenant deux nombres et en restituant deux nouveaux via addition et multiplication) passait un test de réversibilité rapide, elle devrait toujours être réversible.

L'IA a construit un contre-exemple : une machine qui réussit le test mais n'est pas inversible car trois entrées différentes produisent la même sortie. Un seul contre-exemple a suffi à réfuter la conjecture. La démonstration a pu être vérifiée manuellement en moins d'une journée, confirmant une capacité remarquable des systèmes d'IA à générer des mathématiques originales et complexes.