Géométrie non commutative et physique (2/3) : dans les pas d'Heisenberg

L'article introduit la géométrie non commutative, cadre mathématique fondé par Alain Connes dans les années 1980, qui transpose les principes de la mécanique quantique aux structures géométriques. Contrairement à la géométrie classique, elle remplace les algèbres de fonctions commutatives par des algèbres d'opérateurs, où l'ordre de composition importe : deux opérateurs composés ne donnent pas le même résultat selon qu'on les applique dans un ordre ou l'autre.

L'auteur distingue clairement la non-commutativité de l'associativité : l'associativité concerne le regroupement des opérations, la non-commutativité concerne leur ordre. Ce n'est pas une bizarrerie quantique mais un phénomène mathématique courant. Le texte établit alors les outils d'algèbre linéaire élémentaires — espaces vectoriels, applications linéaires — qui forment la base nécessaire pour construire les algèbres d'opérateurs (algèbres de von Neumann) en passant à la dimension infinie.