Equilibre: les nombres premiers révèlent leur secret

Christian Mauduit et Joël Rivat de l'Institut de Mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de prouver une conjecture restée ouverte pendant plus de 40 ans : parmi les nombres premiers, il y a autant de nombres dont la somme des chiffres est paire que de nombres pour lesquels cette somme est impaire. Ce résultat, publié dans les Annals of Mathematics en mai 2010, s'observe « en moyenne » et tend vers un équilibre parfait au fur et à mesure que les nombres augmentent.

Cette découverte renforce l'idée que la répartition des nombres premiers suit une logique aléatoire imprévisible, malgré leur nature hautement structurée. La méthode développée par les deux chercheurs a également permis de résoudre un problème connexe : établir une formule donnant en moyenne le nombre de nombres premiers dont l'écriture en base 2 (binaire) comporte autant de 0 que de 1.

Bien que des progrès aient été réalisés, les nombres premiers conservent de nombreux mystères : l'existence d'une infinité de nombres de Mersenne, la finitude des nombres de Fermat, et l'hypothèse de Riemann — qui offre un million de dollars en prix — figurent parmi les grandes questions non résolues.