Le ballon rond à l'épreuve des probabilités

Une équipe de chercheurs dirigée par Raphaël Chétrite (Université Côte-d'Azur) a publié dans Annals of Applied Probability une étude mathématique sur les probabilités qui gouvernent le football. Prenant appui sur le cas exemplaire de Leicester City, championne d'Angleterre 2016 contre toute attente, ils ont développé des modèles reposant sur la loi de Bradley-Terry et la théorie des grands nombres pour comprendre quand le hasard permet aux petites équipes de battre les favorites.

Leurs travaux aboutissent à trois théorèmes majeurs. Le premier identifie les distributions de forces qui conduisent à un classement « typique » où le meilleur gagne toujours. Le second, baptisé « théorème de Cendrillon », montre qu'en changeant ces distributions, des équipes faibles peuvent surpasser les fortes, situation observée régulièrement dans l'histoire du football. Le football s'y prête mieux que d'autres sports (handball, water-polo) en raison de ses scores très faibles : une équipe modeste peut marquer par chance puis se replier jusqu'à la fin du match.

Un troisième résultat révèle un effet contre-intuitif : une équipe dominatrice a paradoxalement plus de mal à remporter un championnat composé surtout de petites équipes qu'un championnat fort. Ce « piège des petites équipes » s'explique par le fait que des outsiders peuvent accumuler des points contre des clubs faibles et rattraper le leader, tandis que dans un championnat où les bonnes équipes sont nombreuses, elles s'échangent mutuellement des points, facilitant la domination. Ces modèles pourraient à terme aider les opérateurs de paris à fixer les cotes des matchs.