27 871 billets de blogs de mathématiques, de 2004 à aujourd'hui. ← billets récents
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Ce fil du forum « M@TH en Ligne » est à l'origine du présent billet. On y propose de prouver que si sont les angles d'un triangle, alors Un participant du forum affirmait savoir le faire, et c'est sans doute aucun le cas, mais il n'a pas d…
Dans ce billet, je vais présenter quelques propriétés de l'ensemble où est un entier au moins égal à 2. Variété différentielle Cet ensemble est une variété de classe plongée dans — une hypersurface. Elle admet en effet l'équation cartésien…
Selon le théorème fondamental de l'arithmétique, tout nombre entier(*) s'écrit, de façon unique à l'ordre des facteurs près, comme un produit de puissances de nombres premiers, sa décomposition en facteurs premiers. Pour tout nombre premie…
Le but de ce billet est de calculer l'empilement infini de radicaux où la suite est périodique de période et est la suite constante , celle dont les éléments valent tous (*). Nous notons la valeur commune des éléments de rang pair de et ce…
Dans ce billet auquel je vous renvoie pour les définitions et les notations, je faisais observer la chose suivante : le cercle de centre et passant par le point est l'ensemble C'était alors juste une simple observation sur laquelle le bill…
Le présent billet transpose rapidement aux plans affines euclidiens et orientés ce que je présentais dans cet article consacré aux plans vectoriels euclidiens et orientés. Je ne prétends nullement être original dans ce qui suit. Je veux si…
Comme je l'ai expliqué ici, à chaque équation différentielle isochrone est associée une application exponentielle(*). Je rappelle sommairement ce que nous allons utiliser du matériel présenté dans ce billet. Une équation différentielle (**…
Voici une modeste suite à cet article. Je ne pensais pas qu'elle viendrait si rapidement. Elle va dans le sens de ce que j'écrivais dans les dernières lignes du billet sans pour autant épuiser complètement le sujet, me semble-t-il. Disons …
Considérons un plan affine dirigé par le plan vectoriel et un triangle de . Le choix d’un produit scalaire sur dote le triangle d’attributs métriques. De façon non exhaustive : des bissectrices, des hauteurs, des cercles circon…
Une petite formule Voici d’abord la « petite formule ». J’expliquerai plus loin à quoi elle va nous servir. Nous considérons une fonction de classe d’un intervalle ouvert dans ne s’annulant nul…
On rencontre assez régulièrement le problème de calculer des séries de la forme où est un polynôme à coefficients dans . Cette famille de séries inclut la célèbre série géométrique et nous allons montrer que (1) Pour tout polynôme de degré…
Je vais présenter dans ce blog une démonstration du théorème de structure de l’ensemble des solutions des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes. J’y consacrerai deux billets. Il y a des livres …
Ce préambule est un des plus compliqués que j’aie eu à rédiger jusqu’à présent ici. En effet, cet article fait référence à divers autres, ainsi qu’à quelques notions rarement évoquées dans ce blog. Je vous demande donc de…
En tondant la pelouse de mon jardin, j’observe un phénomène que je me suis enfin décidé à expliquer mathématiquement. Il s’agit de ceci. Les traces des roues de la tondeuse ont l’aspect de courbes et celles qui voisinent …
C’est dans cet article que se trouve l’origine de ce dont je vais vous entretenir mais il ne faut nullement l’avoir lu pour comprendre le présent billet dont le propos est extrêmement élémentaire. Dans l’article en …
L’ensemble des homothéties (non constantes) et des translations d’un espace affine est un groupe, sous-groupe du groupe des affinités de l’espace. C’est connu mais peu diffusé, du moins en Belgique. Aussi vais-je en…
Le nombre d’or se débusque un peu partout. J’en ai d’ailleurs déjà parlé sur ce blog. Cette fois-ci, c’est dans le contexte des généralisations d’une formule de Carnot que j’ai étudiées récemment que nou…
Nous allons établir ici que les séries formelles obtenues dans ce billet définissent des fonctions qui sont analytiques sur tout entier. Nous conservons les notations du billet en question. En particulier, les séries considérées sont celle…
Je vais poursuivre ici l’étude, entamée dans ce billet, des fonctions vérifiant la formule de Carnot généralisée pour une valeur non nécessairement entière de (cf. le billet en question dont j’utilise librement les notations et…
Les billets de la série « A propos d’une formule de Carnot » sont consacrés à la détermination des fonctions analytiques qui vérifient où est fixé. Lorsque qu’il vaut deux, cette formule est vérifiée par l…
Nous poursuivons ici notre quête des fonctions analytiques vérifiant une relation généralisant une formule trigonométrique de Carnot, à savoir où est un entier positif. Dans le billet précédent, nous avions constaté que est constant sauf é…
Dans cet article, nous avions obtenus deux belles formules trigonométriques en utilisant de façon répétée la formule de Carnot et son analogue en trigonométrie hyperbolique. Cela nous a conduit à des suites d’approximations intéressa…
Cet article m’a été inspiré par une question posée sur le forum M@TH en ligne. Les pseudonymes DjiLo, ThM, Cyrano et Tournesol sont ceux de participants qui ont pris part à la discussion. D’une manière ou d’une autre, ils…
Dans le troisième billet consacré aux empilements infinis de radicaux, nous avions observé ceci : Si est un nombre réel et si converge vers , alors pour tout nombre réel positif , . Cette remarque ne s’applique pas aux empilements (o…
La formule de Carnot permet d’obtenir une belle formule en divisant encore et encore par . Il s’agit en l’occurrence de la formule, valable pour et , Elle se démontre facilement par récurrence sur . Elle donne les limites…
Le côté d’un cube de volume vaut ; l’aire du cube vaut alors . Le même volume est obtenu avec cubes dont la somme des aires vaut Voici un aperçu du graphe de la fonction . Il nous donne une idée de la manière selon laquelle cro…
Je vais compléter les trois billets précédents en établissant que, pour des suites et à valeurs strictement positives, on a (1) ce qui est une façon de résumer l’alternative suivante : soit et , soit et . Dans le premier cas, pour to…
Je présente dans ce billet ce que je sais de la fonction introduite dans le billet précédent pour étudier les empilements infinis de radicaux. J’utiliserai ici librement les notations de ce billet. Pour rappel, les suites et sont dés…
Nous allons à présent discuter des valeurs que l’on peut éventuellement attribuer, dans le cas de suites et numériques, aux expressions introduites dans le billet précédent. L’idée qui va nous guider est de définir les approxim…
Je vais à présent consacrer quelques billets aux empilements infinis de radicaux La première question est de voir comment une telle expression est définie d’un point de vue syntaxique, ce qui sera assez vite fait. La seconde question…
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