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En mai 2024, OpenAI a annoncé qu'un de ses modèles internes avait résolu le problème des distances unitaires d'Erdos (problème n°90), une conjecture restée ouverte. Neuf mathématiciens ont validé cette preuve sur arXiv le même jour, mais avec des nuances importantes : si la démonstration par l'IA était valide, elle a été « considérablement améliorée » par les chercheurs humains d'OpenAI et d'autres mathématiciens. Melanie Matchett Wood (Harvard) souligne que le niveau d'expertise mobilisé aurait probablement permis aux mathématiciens de trouver une contre-exemple s'ils avaient concentré leurs efforts dans cette direction.

David Madore (Télécom ParisTech) confirme que les IA génératives ont contribué à résoudre certains problèmes d'Erdos, mais relativise : ces problèmes, bien que difficiles, requièrent des outils « assez élémentaires ». Le modèle utilisé par OpenAI reste opaque quant à ses caractéristiques et son temps de calcul. Madore reconnaît néanmoins que c'est « l'un des plus importants » résolu « essentiellement de façon autonome ».

La question de l'impact réel de l'IA générative en recherche mathématique reste ouverte. Madore estime que son rôle croît mais « n'est pas prépondérant », les avis divergent selon les domaines et les chercheurs. Viviane Pons note que si quelques résultats impressionnent, l'IA échoue sur de nombreux autres problèmes. Le débat s'intensifie au sein de la communauté mathématique sur l'utilité et les implications de ces outils.

En 2014, Giorgio Parisi (prix Nobel de physique 2021) et Francesco Zamponi ont développé une description théorique de la transition de blocage, phénomène où un matériau se rigidifie soudainement sans former de liaisons chimiques fixes. Ils ont découvert que deux paramètres mathématiques de leur modèle s'additionnaient toujours à 1, tout comme une autre approche théorique indépendante menée à l'EPFL. Cependant, aucune démonstration formelle de cette propriété n'a pu être établie pendant dix ans, bien que le résultat soit confirmé numériquement.

Dans une étude parue en 2024 dans le Journal of Statistical Mechanics, Parisi et Zamponi ont finalement résolu l'énigme en recourant au modèle d'IA Claude d'Anthropic. Les chercheurs ont guidé l'IA progressivement : d'abord en lui demandant de reproduire leurs calculs de 2014, puis d'expliquer la relation mathématique. Bien que la preuve ait nécessité plusieurs révisions, Claude a identifié rapidement une idée fondamentalement correcte, confirmant que les deux approches théoriques aboutissent exactement aux mêmes résultats et prédictions physiques, suggérant une structure plus simple que prévu.

La conjecture de George Birkhoff énoncée en 1941 postulait que toute pseudo-rotation analytique du cylindre (transformation sans points périodiques préservant l'aire) devrait se ramener, par changement de paramétrisation, à une rotation irrationnelle. Cette conjecture prolongeait un résultat d'Arnaud Denjoy de 1932 sur le cercle. Pierre Berger, directeur de recherche au CNRS et à l'Institut de mathématiques de Jussieu, vient de publier dans Annals of Mathematics un article qui démontre que cette conjecture est fausse.

Berger construit explicitement des pseudo-rotations analytiques qui ne peuvent pas être converties en rotations topologiques, indépendamment du changement de paramétrisation choisi. Certains de ces contre-exemples possèdent une propriété spectaculaire : la trajectoire typique d'un point parcourt uniformément toutes les régions du cylindre, ce qui est impossible pour une rotation. D'autres présentent une haute émergence, notion mesurant la complexité statistique d'un système — leur dynamique nécessite un nombre extraordinairement grand de comportements statistiques pour être décrite.

Ces résultats révèlent que l'absence de points périodiques n'impose pas un comportement simple, même dans le cadre très restrictif d'une transformation analytique, conservative et sans aucun point périodique. Ils s'inscrivent dans une série de travaux sur les dynamiques sauvages, montrant que de nombreux systèmes — polynomiaux, hamiltoniens — recèlent une richesse statistique insoupçonnée.

L'informatique a mécanisé de nombreuses tâches, mais elle pose un défi majeur : garantir que les programmes font ce qu'ils sont censés faire. Un résultat fondamental de l'informatique théorique établit qu'il est impossible de prédire à l'avance si un programme quelconque va terminer ou entrer dans une boucle infinie — c'est l'indécidabilité du problème de l'arrêt, une limite incontournable enseignée dans les masters d'informatique.

Pour assurer la correction des programmes face à un nombre infini de configurations possibles, les informaticiens s'appuient sur des preuves mathématiques rigoureuses. La démonstration par récurrence, héritée des mathématiques grecques, permet d'établir des propriétés valables pour tous les entiers naturels. Cela a conduit à formaliser la notion de preuve elle-même grâce à la logique mathématique et à la théorie de la démonstration.

Cependant, deux problèmes majeurs subsistent : les démonstrations humaines, notamment les plus longues, risquent de contenir des erreurs non détectées (comme ce fut le cas pour certains problèmes de Hilbert). C'est pourquoi les informaticiens modernes ont développé des outils pour vérifier mécaniquement les preuves formelles par ordinateur, ouvrant une nouvelle approche de la validation mathématique.

Polytechnique a annoncé la création d'un Institut de Mathématiques et des Sciences Fondamentales, financé par un don de 50 millions d'euros de Bernard Arnault via sa société familiale Agache. Le nouvel établissement, qui portera le nom du milliardaire et ancien élève de l'école, accueillera environ 400 enseignants-chercheurs, doctorants et post-doctorants d'ici 2030.

Ce projet répond à un enjeu stratégique : consolider l'avantage historique français en mathématiques fondamentales et le convertir en supériorité industrielle face aux États-Unis et à la Chine. Les mathématiques sont essentielles aux domaines technologiques contemporains — intelligence artificielle, calcul quantique, cryptographie et cybersécurité — où elles constituent les fondations théoriques et applicatives. L'institut accueillera aussi une « Résidence mathématique » destinée à attirer des chercheurs internationaux de premier plan.

Ce mécénat illustre l'importance croissante de la philanthropie privée dans le financement de la recherche en France, tout en soulevant des questions sur l'indépendance scientifique et l'équilibre entre intérêt général et influence des grands acteurs économiques. Polytechnique, institution militaire et grande école d'ingénieurs, occupe une place centrale dans ce débat.

Depuis l'Antiquité, les nombres premiers fascinent et intriguent les mathématiciens. Malgré des millénaires d'études, leur distribution le long de la droite numérique semblait aléatoire et imprévisible. Même le tamis d'Ératosthène, inventé au IIIe siècle avant J.-C., reste l'une des meilleures méthodes pour les détecter, illustrant la profondeur du défi.

Une équipe de chercheurs dirigée par Ken Ono vient de révéler un lien remarquable : les nombres premiers sont en réalité détectables via une infinité de fonctions issues des partitions entières (les manières de décomposer un nombre en somme d'autres entiers). Plus précisément, ces nombres sont solutions d'équations diophantiennes spécialement construites à partir de ces fonctions de partition. Cette connexion inattendue relie deux domaines mathématiques apparemment distincts : la théorie des nombres premiers et la combinatoire.

Cette découverte est purement théorique et ne menace pas la sécurité des systèmes cryptographiques modernes, qui s'appuient sur la difficulté à factoriser les grands nombres premiers. Néanmoins, elle marque une étape majeure dans la compréhension des fondations des mathématiques et pourrait s'avérer cruciale à l'ère de l'informatique quantique.

Depuis sa formulation en 1925, l'équation de Schrödinger reste incontournable en mécanique quantique, mais elle est quasi impossible à résoudre exactement pour la plupart des systèmes physiques. Au-delà du cas simple de l'atome d'hydrogène, les physiciens doivent recourir à des approximations. La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT), fondée dans les années 1960 par Hohenberg et Kohn, a constitué une avancée majeure en réduisant le problème à la densité des particules plutôt qu'à leur fonction d'onde complète.

Une équipe française vient de proposer une approche novatrice : remplacer le vrai système à étudier par un système équivalent sans réalité physique mais mathématiquement plus traitable. Les premiers résultats suggèrent que cette stratégie radicale pourrait permettre de modéliser des systèmes quantiques complexes restés hors de portée jusqu'à présent. Cette nouvelle approche s'inscrit dans la quête centenaire d'approximations toujours plus efficaces pour contourner les obstacles de calcul.

Depuis les années 1970, physiciens et mathématiciens rêvent d'une théorie unifiée englobant les quatre interactions fondamentales : forces nucléaires forte et faible, électromagnétisme et gravitation. Pourtant, ce projet bute sur une difficulté conceptuelle majeure : la relativité générale d'Einstein décrit la gravité comme géométrie de l'espace-temps, tandis que les trois autres forces relèvent de théories quantiques reposant sur un espace-temps fixe. Ces deux visions demeurent irréconciliables.

Mais au-delà des obstacles physiques, une limite mathématique pourrait s'opposer à ce rêve. Les théorèmes d'incomplétude établis par Kurt Gödel en 1931 suggèrent que toute théorie formelle suffisamment riche ne peut être à la fois complète et cohérente. Dès lors, une « théorie du tout » pourrait en principe exister, mais il serait impossible de prouver que nous l'avons trouvée, ou même de la valider exhaustivement. La question se pose ainsi : une telle théorie est-elle simplement hors de notre portée pratique, ou mathématiquement interdite ?

Située au coeur du campus Luminy à Marseille, la bastide rose du Cirm (Centre international de rencontres mathématiques) possède une histoire riche. Propriété de l'abbaye Saint-Victor au Moyen Âge, le lieu a successivement accueilli une chapelle avant d'être acquis par la famille Fabre, richissimes armateurs marseillais, qui en faisaient leur maison de vacances. Pendant la Seconde Guerre mondiale, la famille se voit retirer sa propriété en raison de sa collaboration avec le régime nazi.

Après 1945, le domaine devient propriété publique et se transforme en 1966 en pôle universitaire avec l'établissement d'une Faculté de Sciences. C'est dans ce cadre qu'a été créé le Cirm, transformant l'ancienne résidence en centre de recherche reconnu internationalement. Aujourd'hui, le site accueille des mathématiciens du monde entier, conjuguant ainsi richesse historique et rayonnement scientifique.